Влияние перемещений на несущую способность конструкции. Под расчетом на основе теории Г порядка понимается такой расчет, когда не учитывается влияние перемещении конструкции на ее напряженно деформированное состояние, теория же П порядка это влияние учитывает.
Нормы ЧСН 73 1401/1976 (п. 79) разрешают учитывать пластические свойства стали для расчета многоэтажных рам в случае, когда они закреплены против боковых перемещений. В незакрепленных рамах пластические расчеты согласно теории I порядка можно применять только для двухэтажных рам. Основанием для какого ограничения является анализ поведения систем с учетом влияния так называемого воздействия PΔ.
В высоких незакрепленных рамах от действия горизонтальных или несимметричных вертикальных нагрузок, а также в результате асимметрии конструкции часто возникают значительные боковые перемещения Δ, приводящие к появлению дополнительных изгибающих моментов типа PΔ, которые необходимо учитывать в первую очередь в колоннах рам. Более всего это проявляется при больших продольных силах в колоннах нижних этажей, где наблюдается заметное снижение их пластической несущей способности при изгибе (см. рис. 2.30), с связи с чем в колоннах пластические шарниры от изгиба зачастую вообще не могут образоваться.
Как уже было показано на примере рамы, приведенной на рис. 4.1, а, при указанных условиях предельное состояние наступит не в результате образования механизма разрушения в соответствии с простой пластической теорией (рис. 4.1, b), система станет эксплуатационно непригодной при меньшем числе пластических шарниров (рис. 4.1, с) из-за быстрого нарастания горизонтальных деформаций при меньшем значении нагрузки (см. рис. 5.45).
Таким образом, высокие рамы, не закрепленные против горизонтальных перемещений, необходимо рассчитывать с учетом деформированной схемы, т.е. согласно теории II порядка.
Обратимся к рис. 5.39.
Для незакрепленной многоэтажной рамы при простом нагружении рассмотрим зависимость между параметром нагрузки s и горизонтальным перемещением верхнего ригеля рамы при различных методах расчета.
Прямая а и кривая b соответствуют упругому расчету, первая - без учета деформированной схемы и влияния перемещений, вторая - с их учетом. При больших перемещениях Δ кривая b приближается к граничной прямой с, определенной из расчета на устойчивость упругой идеальной системы без учета разного вида несовершенств (s=scr) .
Прямая а характеризуется значением s=spl - верхним пределом предельной пластической нагрузки, установленным пластическим расчетом согласно теории I порядка для жестко пластического материала (диаграмма работы Бернулли, см. рис. 1.6, b) при идеальных условиях без учета влияния перемещений. Если учесть это влияние путем расчета конструкции согласно теории II порядка, то параметр предельной нагрузки s при возрастании перемещений Δ существенно снижается, что показано кривой е на рис. 539.
При упруго пластической работе материала (диаграмма работы Прандтля, см. рис. 1.6, а) в статически неопределимой конструкции при увеличении нагрузки последовательно возникают пластические шарниры, и жесткость конструкции уменьшается. В этом случае поведение конструкции описывают кривые f и g: первая - при идеальных условиях простого пластического расчета, вторая - с учетом деформированной схемы, т.е. воздействия PΔ. При больших перемещениях Δ кривая g переходит в кривую е.
Если учесть еще отклонения от идеальных предпосылок, а именно, пластические области с действительными размерами (рис. 1.13, А), внутренние напряжения, начальные несовершенства и т.п. и вместе с тем - благоприятное влияние работы материала (см. рис. 1.3, d, е, рис. 1.6, с) и совместную работу стен, перекрытий, соседних менее загруженных рам и других конструкций, то получим кривую h, которая наиболее близко описывает действительную работу конструкции. Самая высокая точка этой кривой определяет действительный параметр предельной нагрузки S=Ssk.
Аналитическое определение действительного параметра предельной нагрузки Ssk весьма трудоемко. Грубую его оценку Ssk=SMR дает прямая i, соответствующая формуле (4.1) Мерчанта-Ранкина. В этом случае параметр предельной нагрузки можно записать в виде
В проекте французских норм 1974 г. рекомендуется определять параметр предельных нагрузок Ssk в соответствии со схемой, показанной на рис. 5.40, где приведено три метода вычисления параметра Scr, характеризующего упругую неустойчивость конструкции при идеальных условиях. Расчет по данным рис. 5.40 считаем консервативным.
Рамы, закрепленные против бокового перемещения. Некоторые схемы рам, закрепленных против бокового перемещения, приведены на. рис. 4.2. Существо пластического расчета таких конструкций поясним на примере рамы, показанной на рис. 5.41.
Закрепления рамных конструкций воспринимают большую часть горизонтальных воздействий, чем значительно ограничивают боковые перемещения конструкции, возникновение дополнительных изгибающих моментов от вертикальных нагрузок, а также уменьшают расчетные длины колонн рам при продольном изгибе. Благодаря закреплениям элементы рам подбирают прежде всего на действие вертикальных нагрузок.
Ригели проверяются на нагрузку, непосредственно действующую на них, в предположении образования балочного механизма разрушения при внешних изгибающих моментах Мpl = (g+р)lo2/16 (g - постоянная и р - временная расчетные нагрузки; lo - расстояние в свету между гранями колонн). Ригели, которые входят в связевую систему, проверяются на комбинацию изгиба от вертикальной нагрузки и действия продольных сил от ветра, увеличенных на влияние PΔ, см. формулу (5.314). Продольные силы определяются как усилия в горизонтальных элементах вертикальной решетчатой консоли - элемента жесткости системы.
Разность моментов в ригелях слева (L) и справа (P) от узла, а также разность моментов от соответствующих реакций определяют "внешний" неуравновешенный момент, действующий в рассматриваемом узле:
В случае расположения временной нагрузки в шахматном порядке (см. рис. 5.41) считаем, что ригель нагружен только постоянной нагрузкой g, работает в пределах упругих деформаций и имеет концевые моменты, равные glo2/12.
Изгибающий момент Mex распределяется в узле между колоннами в зависимости от их погонных жесткостей при изгибе. Максимальная продольная сила в колонне равна сумме вертикальных воздействий на верхним этаж и на рассматриваемый с учетом расчетной временной нагрузки р по действующим нормам, а также вертикальной нагрузки от ветра Mw/l в вертикальной связевой системе; здесь Mw - изгибающий момент от ветра относительно моментной точки этой системы; l - теоретическая ширина связевой системы. Колонны необходимо рассчитывать на комбинацию указанных выше изгибающих моментов и продольных сил, с помощью соответствующих графиков.
Сечения, подобранные указанным выше способом, необходимо проверить, рассматривая узлы рам с примыкающими к ним элементами.
Рассмотрим узел 1 с примыкающими к нему элементами (рис. 5.41 и 5.42, а). Построим зависимости M1j-v1j между изгибающими моментами и углами поворота стержней отдельно для каждого элемента lj рамного узла; j = 2; 3; 4. Действующие продольные силы принимаются максимальными и считаются постоянными, а моменты — непрерывно возрастающими. Элементы рамного узла жестко соединены между собой. Предполагаем, что для одинаковых углов поворота элементов в узле . можно суммировать отвечающие им изгибающие моменты M1j из отдельных кривых. Таким образом, графической суперпозицией найдем результирующую зависимость M1-v1; при этом M1=M12+M13+M14. Наиболее высокая точка этой кривой и будет определять несущую способность max M1N колонн в узле 1 с учетом влияния нормальных сил N. Условие безопасности требует выполнения следующего соотношения:
Отдельные кривые M1j-v1j - необходимо построить для конкретных силовых и геометрических данных; пример кривых типа M12-v12 дан на рис. 5.42, а.
В верхних этажах высокой рамы с относительно малыми продольными силами в колоннах пластические шарниры могут распространиться и на колонны (графики M57-v57 и M56-v56 с почти горизонтальными участками), в нижних этажах с большими продольными силами в колоннах это обычно не наблюдается (графики M12-v12 или M14-v14 с быстро снижающимися кривыми), т.е. в предельных состояниях этих колонн текучесть распространяется не на все сечение.
На рис. 5.42, b приведены графики M5j-v5j (j=6; 7) для другого узла рамы, показанного на рис. 5.41.
Конструкции закреплений должны удовлетворять следующим трем условиям.
1. Жесткость элементов закреплений должна быть такой, чтобы максимальные горизонтальные перемещения рамы при эксплуатационной нагрузке не превышали установленных значений, например 0,2% Σh всей высоты здания:
2. При расчетной нагрузке элементы закрепления должны удовлетворять условиям несущей способности. Горизонтальную нагрузку на здание от ветра или землетрясения необходимо суммировать с горизонтальной нагрузкой от влияния PΔ, которая в запас надежности принимается одинаковой для всех этажей, включая кровлю
3. В соответствии с нормами ЧСН 73 1401/1976, допустимая предельная гибкость сжатых элементов λvz=200, растянутых -λt=400; согласно английским нормам В5449 соответственно λvz=250 u λt=350.
Рамы, не закрепленные против бокового смещения. Исследования характера деформирования рассматриваемого класса конструкций с учетом неупругих деформаций при действии внешних нагрузок приведены в работах. Результаты этих работ частично нашли свое отражение в требованиях нормативных документов разных стран.
Так, незакрепленные рамы высотой более двух этажей, согласно ЧСН 73 1401/1976, а также незакрепленные одноэтажные рамы с коэффициентом безопасности Scr/spl≤4, согласно проекту французских норм CTICM/1974, должны рассчитываться в соответствии с теорией П порядка на совместное действие изгибающих моментов и продольных сил (п. 5.10). В то же время нормы ГДР TGL 13 450/02/1975 и австралийские нормы CS1/1972 допускают расчет незакрепленных трехэтажных рам по теории I порядка.
Представление об уменьшении предельной пластической нагрузки в результате совместного действия изгибающих моментов и продольных сил, а также в результате влияния PΔ дают табл. 5.15 и рис. 5.45.
Рассмотрим кратко основы трех методов расчета незакрепленных рам согласно теории H порядка. Первые два метода целесообразно использовать при пропорциональном увеличении нагрузки, третий - при постоянном значении вертикальной нагрузки и непрерывно возрастающей горизонтальной нагрузке.
Первый метод. Расчет выполняется в следующем порядке:
а) методами упругих расчетов с учетом воздействия продольных сил вычисляются перемещения узлов f непосредственно перед возникновением последнего пластического шарнира;
б) определяется кинематический механизм II порядка с перемещениями узлов f+f-; при этом вместо углов поворота принимаются более сложные зависимости а для взаимного поворота стержней;
в) для проверки сечений используются пластические изгибающие моменты МplN с учетом влияния продольных сил;
г) с учетом моментов MplN составляются уравнения виртуальной работы внешних и внутренних сил для кинематического механизма II порядка, из которых определяется значение предельной пластической нагрузки Ppl.
Поскольку ряд величин взаимосвязаны между собой, решение в целом является итерационным. Входные данные необходимо конкретизировать численными значениями.
Сделаем пояснения к изложенной схеме расчета. Удобным является метод перемещений. Углы поворота концевых сечений стержня аb (рис. 5.43) выражаются зависимостями:
При равномерно распределенной нагрузке р по всему пролету имеем
Специальные функции имеют вид
в которых параметр продольно-поперечного изгиба
Зависимости типа (5.315) можно записать для всех узлов. Применяя условие неразрывности деформаций для рамы в момент возникновения последнего пластического шарнира, получим все неизвестные перемещения -F(v,w).
Примеры механизмов II порядка приведены на рис. 5.44. Зависимости для перемещений II порядка f и взаимных поворотов стержней or следуют из геометрических соотношений. Обоснованием для возможности прямолинейного изображения исходного состояния являются схемы, приведенные на рис. 5.8.
Предельные пластические изгибающие моменты MplN определяются по формуле (5.280).
Для рамы, показанной на рис. 5.44, а, уравнение виртуальной работы имеет вид
Откуда для конкретного случая (см. рис. 5.37) предельная пластическая нагрузка вычисляется по формуле
Результат решения приведен в табл. 5.15.
Второй метод. Этот метод расчета также основан на использовании итерационного решения методом перемещений. Исходными являются зависимости для поперечной нагрузки сжатого стержня. Концевые изгибающие моменты и поперечные силы выражаются в зависимости от углов поворота стержня и узлов ψkj=fj/lkj, φkj, φjk, а также от концевых усилий (моменты в защемлениях Mvkj, Mvjk или приведенные пластические изгибающие моменты Mpl,jN или Mpl,kN). Продольные силы определяются из условий равновесия в узлах (рис. 5.37,g). Формально подобные отношения можно получить для разных состояний стержня (без пластических шарниров, с одним или двумя шарнирами при разных положениях).
Расчет включает следующие операции:
а) принимаются геометрическая и статическая схемы рамы, моменты инерции стержней, пластические несущие способности стержней при изгибе, зависимости при совместном действии изгибающих моментов, продольных и поперечных сил, модули упругости, схема нагрузок и их значения; ставится задача определить общий коэффициент безопасности s конструкции, препятствующим достижению предельной пластической нагрузки;
б) записываются уравнения равновесия для узлов, этажей и стержней, в которых в качестве неизвестных принимаются углы поворота стержней и узлов; эти уравнения зависят от параметра продольно-поперечного изгиба v и коэффициента безопасности s; коэффициенты при неизвестных различны в зависимости от состояний стержней и уточняются при каждой итерации;
в) для некоторого значения коэффициента безопасности из решения системы указанных уравнений вычисляются неизвестные углы поворота стержней и узлов, на основе которых определяются концевые моменты и поперечные и продольные силы;
г) уточняются параметры продольно-поперечного изгиба, состояния стержней, пластические изгибающие моменты и зависящие от них коэффициенты при неизвестных в уравнениях равновесия; проверяются условия статической безопасности для всей рамы;
д) расчет повторяется до тех пор, пока различие результатов между последней и предыдущей итерациями соответствует заданной степени точности;
е) по отдельным вычисленным точкам строится график зависимости s-Δ, при этом Δ=f является, например, перемещением некоторого узла верхнего этажа рамы; верхняя точка этого графика определяет действительный коэффициент безопасности ssk конструкции, т.е. отношение предельной пластической нагрузки к заданной; при s≥ssk перемещение Δ или угол поворота ψ резко уменьшаются и попадают на фиктивную ветвь графика (штриховая линия на рис. 5.45).
Пример. Для рамы, показанной на рис. 5.45, а, график s-ψ(где ψ — угол поворота стойки) приведен на рис. 5.45, b. Тонкая ломаная линия соответствует решению методом последовательной пластификации конструкции в соответствии с теорией I порядка, более толстая линия — приведенному решению согласно теории II порядка. В результате учета совместного действия изгиба и продольных сил, а также воздействия PΔ наблюдается снижение предельной пластической нагрузки на 3,75-2,84/3,75*100=24,3%.
Третий метод. При увеличении числа этажей расчет рассматриваемых конструкций существенно усложняется. He останавливаясь на подробностях, обратим внимание на некоторые приемы, которые облегчают расчет высоких рам по теории II порядка:
а) с помощью метода распределения моментов или других методов определяется статически допустимое распределение изгибающих моментов в раме, отвечающее данной нагрузке и воздействиям PΔ, полученным с помощью приближенных формул; по этим моментам подбираются сечения элементов;
б) для каждого этажа в отдельности рассматривается равновесие узлов с примыкающими к нему элементами и исследуются зависимости между нагрузкой и горизонтальными перемещениями (рис. 5.46);
в) уточняются сечения элементов, и решение повторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность вычислений.
В методе используется принцип статического решения и поэтому результаты соответствуют нижним пределам предельных пластических нагрузок. Это позволяет (однако не всегда безопасно) принимать в расчетах только пластические несущие способности сечений при изгибе Mpl и не учитывать влияние продольных и поперечных сил.
Другие методы. Ранее уже упоминалось о решении задач устойчивости рам с переходом к упругому расчету.
В работах исследуются незакрепленные высокие рамы с "сильными" колоннами и "слабыми" ригелями. При этом колонны в большинстве случаев остаются в упругом состоянии, за исключением двух-трех верхних этажей с малыми продольными силами. При этом в ригелях, загруженных в основном вертикальной нагрузкой, образуются механизмы разрушения точно так же, как это показано на рис. 5.41; при комбинации вертикальной и горизонтальной нагрузок образуются комбинированные механизмы разрушения (как на рис. 5.16, но с обычными шарнирами в местах опирания рам).
В работе рассмотрено определение предельной пластической нагрузки согласно теории II порядка с использованием линейного программирования, обзор решений нелинейными методами математического программирования приведен в работе.