Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения





















Яндекс.Метрика

Расчет на ЭВМ

Кинематическая формулировка задачи. В табл. 5.11 таким же способом, как ранее для статических зависимостей, представлены кинематические зависимости в алгебраическом и матричном выражениях для двух задач. При этом использованы обозначения, принятые в формулах (5.250)—(5.259).
На основе кинематической теоремы получаем задачу максимализации целевой функции (5.250) при условиях кинематически возможных решений (5.253). Формула (5.251) была пояснена ранее. Формулу (5.252) для условий оптимального проектирования можно трактовать как требование образования механизма HO [ср. с формулой (5.210) при S=1,0]. Формулы (5.251), (5.252) или (5.255), (5.256) иногда записывают в более общем виде со знаком ≤. В формуле (5.252) еi обозначает число пластических шарниров в стержне i; очевидно, что Σеi=e. Элементы [vk] вектора [v] принимаются как абсолютные величины.
Расчет на ЭВМ

Двойственность между статическими и кинематическими зависимостями. Исключим из табл. 5.11 абсолютные значения
Расчет на ЭВМ

С учетом (5.260) для заданных отношений пластических несущих способностей сечений получим зависимости, приведенные в табл. 5.12. Для этого необходимо переменные в головке левой части табл. 5.12 умножить на соответствующие коэффициенты внутри этой таблицы. Как следует из схемы в правой части табл. 5.12, простой трансформацией векторов или матриц коэффициентов легко перейти от одной формулировки (чаще всего статической) к другой (кинематической), которую прямым путем выразить достаточно затруднительно.
Значения составляющих перемещений opt υk', opt υk''; opt fl', opt fj'', получаемые из условия оптимального решения кинематической задачи (5.250) или (5.254), в связи с образованием действительного механизма разрушения не оказывают влияния на проектирование конструкций. Теперь перейдем от них к значениям изгибающих моментов Mpl,k. В соответствии с объединенной теоремой обе формулировки задачи должны дать одинаковые результаты, в том числе и условие равенства виртуальных работ внутренних и внешних сил. Из формул (5.247) и (5.24) следует оптимальное значение параметра Mo:
Расчет на ЭВМ

Расчет на ЭВМ

Подобные двойственные зависимости существуют и в задаче оптимального пластического проектирования, как это можно наглядно показать при составлении схемы расчета, аналогичной приведенной в табл. 5.12.
Возникает вопрос, какой смысл имеет использование менее наглядной кинематической формулировки? При таком подходе для решения задачи требуется меньший объем вычислений и, следовательно, он более выгоден для решения на ЭВМ. Переход от кинематической формулировки к статической при решении оптимизационной задачи можно осуществить путем использования программ для ЭВМ и тем самым получить оба решения.
Задачи, решаемые на основе линейного программирования. Принятые здесь обозначения применимы только для математических выкладок. Допустим, что имеется система m линейных неоднородных уравнений с n независимыми переменными x1, x2,..., xn:
Расчет на ЭВМ

Число n переменных больше числа m уравнений, которые линейно независимы. Если некоторые уравнения линейно зависимы, то достаточно учитывать только одно из них.
Задача линейного программирования сводится к отысканию из бесконечного множества возможных решений системы (5.264) такого неотрицательного решения x01, x02,..., x0n≥0, для которого так называемая целевая функция, выражаемая формулой
Расчет на ЭВМ

принимает экстремальное значение. Решение x01, x02,..., x0n назовем оптимальным. В формулах (5.264) и (5.265) аji, ajo, аoi - являются постоянными величинами.
При разыскании оптимального решения можно ограничиться рассмотрением так называемых (mn) основных решений, которые имеют m положительных корней, а остальные ( п — т ) корней равны нулю. Переменные x1, x2,..., xm ≥ 0, имеющие отличные от нуля значения, назовем основными, остальные переменные со значениями xm+1 = ... = 0 — второстепенными.
До тех пор, пока некоторые переменные xk удовлетворяют требованию положительности, можно пользоваться заменой переменных
Расчет на ЭВМ

Систему неравенств можно перевести в систему уравнений путем введения дополнительных переменных хn+j ≥ 0; j=1, ..., m с коэффициентами +1 для неравенств ≤ или -1 для неравенств ≥.
В геометрической интерпретации пространство допустимых решений является (n—m) мерным ограниченным выпуклым многогранником. Его вершины являются основными решениями задач. Целевая функция определяет плоскость, которая в процессе решения перемещается параллельно ее первоначальному положению от вершины к вершине. Если целевая функция достигнет экстремального значения, то геометрически соответствующая плоскость выйдет из многогранника через наиболее близкую (минимизация) или наиболее удаленную (максимализация) от 0 вершину (пример для двухмерного пространства приведен на рис. 5.36, a, b). Эта вершина отвечает оптимальному основному решению с m положительными корнями.
В некоторых случаях наблюдается так называемое вырождение задачи: 1) некоторая грань ограничивающего многогранника преобразуется в точку а: 2) имеется не менее m положительных ненулевых корней; 3) более чем (n-m) корней равняется нулю. На рис. 5.36, с изображена двухмерная задача с вырождением.
Расчет на ЭВМ

Если плоскость, представляющая целевую функцию, выйдет из пространства допустимых решений через вершину ограничивающего многогранника, оптимальное решение является единственным. В отдельных случаях плоскость выходит через грань многогранника, при этом получим бесконечное множество оптимальных решений с одним и тем же значением целевой функции. Такая задача двойственна по отношению к задаче с вырождением. На рис. 5.36, d выход прямой, изображающей целевую функцию в двухмерном пространстве, показан через грань многоугольника.
Задачи пластических расчетов в статической формулировке сводятся к типу задач, показанных на рис. 5.36,a, те же задачи в кинематической формулировке сводятся к задачам, представленным на рис. 5.36, b. Если не встречаются особые случаи (рис. 5.36, с, d), то решения приводят к таким конструкциям, предельное состояние которых будет достигнуто при образовании полного кинематического механизма. Если статическая задача вырождена (соответственно двойственная кинематическая задача имеет бесконечное множество решений), то образуется избыточный механизм, что наиболее часто наблюдается при проектировании конструкций с минимальной материалоемкостью. Если, наоборот, кинематическая задача вырождена (соответственно двойственная статическая задача имеет бесконечное множество решений), то образуется частичный кинематический механизм разрушения, что часто наблюдается в задачах с заданным отношением пластических несущих способностей сечений.
Расчет на ЭВМ

Для решения задач линейного программирования имеется ряд эффективных методов. Наиболее известен симплекс-метод, а также некоторые его варианты: двойственный и модифицированный симплекс-методы. Изготовители ЭВМ вместе с техникой поставляют и стандартные программы для некоторых из этих методов.
Обработка задач для решения их методом линейного программирования. Имеется несколько приемов приведения зависимостей, данных в табл. 5.10 и 5.11, к виду, необходимому для решения задачи линейным программированием. Наиболее простая запись приведена в табл. 5.13, в которой сформулирован общий случай оптимального проектирования.
Пример. Для рамы, показанной на рис. 5.11, a, матрицы или векторы, входящие в зависимости табл. 5.13, имеют следующий вид:
Расчет на ЭВМ

Приведенные данные, обработанные в соответствии с изложенными рекомендациями, вместе с данными о размере задачи и необходимой точности результатов достаточны для решения задачи на ЭВМ.
Зависимости для решения задачи в кинематической формулировке приведены в развернутом виде в табл. 5.14, которая по существу является расширенной и обработанной таблицей 5.3.
Расчет на ЭВМ

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: