Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения





















Яндекс.Метрика

Оптимальное проектирование

Ранее рассмотрены методы пластического расчета конструкций с преобладанием изгиба, при этом были известны, в частности, значения отношений пластических несущих способностей критических сечений. Для заданной нагрузки определялись необходимые пластические несущие способности сечений при изгибе или, наоборот, при известных пластических несущих способностях сечений разыскивалась предельная нагрузка.
В этой теме пойдет речь об отыскании наиболее выгодных (оптимальных) пластических несущих способностей для заданного простого нагружения с преобладающим влиянием изгиба. Вопросы оптимального проектирования широко представлены в литературе. Оптимальному проектированию посвящены монографии.
Условие оптимизации. Примем в качестве критериев экономичности наименьшую материалоемкость или наименьший объем конструкции. Если не учитывать постоянные множители, не влияющие на результат, а также предположить, что стержни имеют постоянные сечения с одинаковым весом единицы длины, то при этих условиях оба критерия можно выразить требованием минимализации целевой функции:
Оптимальное проектирование

При этом
Оптимальное проектирование

Показатель α также зависит от типа сечения (0,5 для прямоугольника, примерно 0,6 для двутаврового прокатного сечения, примерно 0.667 для двутаврового сварного сечения),
Учитывая стоимость применяемого материала, можно использовать и критерий наименьшей стоимости.
Далее рассматриваем конструкции из одной марки стали со сварными двутавровыми сечениями, выполненными по одной и той же технологии. Тогда получим
Оптимальное проектирование

Кривые зависимости пластического момента Mpl,iот объема Vi для стержней двутаврового сварного сечения достаточно пологие и поэтому с требуемой точностью могут быть заменены прямыми линиями. В этом случае имеем
Оптимальное проектирование

В качестве более точной целевой функции можно принять функцию вида
Оптимальное проектирование

Расчеты на основе выражения (5.177) требуют применения интеграционного метода, так как отношения высот сечений заранее не известны.
Учитывая ряд изложенных предположений, в дальнейшем будем принимать в качестве расчетной целевую функцию вида (5.176) или пропорциональную ей.
Графическое решение задач оптимального проектирования. Применение графического решения задач оптимального проектирования конструкций, согласно теории пластичности, позволяет наглядно представить основные особенности проблемы, а зачастую дает возможность достаточно просто определить конечный результат. Для ознакомления с этими вопросами рекомендуется обратиться к работам.
Область допустимых решений. Исследуем неразрезную балку, представленную на рис. 5.31, a сначала статическим, а затем кинематическим методами.
Уравнения равновесия для узлов и стержней имеют следующий вид:
Оптимальное проектирование

Условия безопасного распределения изгибающих моментов требуют выполнения условий
Оптимальное проектирование

Оптимальное проектирование

Путем решения приведенных уравнений и неравенств исключим переменные M1, M2, M3, M4. Далее необходимо получить систему зависимостей между неизвестными пластическими несущими способностями сечений при изгибе Mpl,1 и Mpl,2.
Покажем вывод одной такой зависимости:
Оптимальное проектирование

С учетом (5.185) и (5.187) получим окончательно
Оптимальное проектирование

В формуле (5.189) sIV≥1 — коэффициент безопасности против образования шарнирного механизма IV (см. рис. 5.31, а) . При sIV=1,0 соотношения (5.186) и (5.187) равноценны, при этом в сечениях 1 и 3 возникнут пластические шарниры. Уравнений типа (5.189) можно вывести столько, сколько может быть допустимых кинематических механизмов разрушения. Однако проще такие зависимости получать кинематическим методом с помощью уравнений виртуальной работы. Например, для механизма разрушения IV и
Оптимальное проектирование

откуда приходим к зависимости (5.189). Пользуясь обозначениями m1, m2 и u согласно рис. 5.31,b, для механизмов разрушения, приведенных на рис. 5.31,a, получаем систему зависимостей
Оптимальное проектирование

При этом
Оптимальное проектирование

Графическое изображение уравнений (5.191) и зависимостей (5.192) дано на рис. 5.31, b. 3аштриховаяная часть рисунка для s≥1 представляет область допустимых решений [m1, m2] границей которой является выпуклый многоугольник, определяемый значением s=1.
Допустимых решений может быть бесконечное множество, в то время как оптимальное решение представлено условием (5.176), которое после деления на постоянную Pl2 имеет вид
Оптимальное проектирование

Графическим изображением зависимостей (5.193) является прямая, определяемая значением параметра u (рис. 5.31, b). Эта прямая выходит из области допустимых решений через вершину, лежащую на пересечении прямых sIII=1, sIV=1 и sVII=1; тогда u=4.
Балка на рис. 5.31, а имеет наименьшую материалоемкость при пластических несущих способностях левого или правого пролетов, соответственно равных
Оптимальное проектирование

Предельным состоянием конструкции является образование избыточного механизма VII, который образуется комбинацией двух полных механизмов III и IV.
Изложенное графическое решение можно применять во всех задачах с двумя переменными Mpl,1 и Mpl,2, в том числе для рамы, представленной на рис. 5.31, с. В отличие от графических методов, изложенных далее, применимость данного решения не ограничивается степенью статической неопределимости. Подобные задачи можно решать численно при большем числе переменных методом линейного программирования.
Многогранник материалоемкости и слоистый план. Применяя метод сил, изгибающие моменты в критических сечениях k можно выразить формулой
Оптимальное проектирование

Стержень i может иметь несколько критических сечений ki. С изменением лишних неизвестных xh происходит изменение решающих сечений. Для подбора сечения стержня i решающим является момент с наибольшим абсолютным значением max[Mki]=[Mi]=Mpl,i.
С учетом обозначений
Оптимальное проектирование

целевая функция (5.176) принимает вид
Оптимальное проектирование

Оптимальное проектирование

Изображением соотношений (5.197) является выпуклый многогранник U = U (X1, X2,..., Xn) в (n+1)-мерном пространстве (n — степень статической надопределимости конструкции). Этот многогранник характеризует материалоемкость конструкции, поэтому его можно называть (с учетом опущенных постоянных множителей) многогранником материалоемкости. Его вершины соответствуют изменению решающих сечений для соответствующих механизмов разрушения.
Например, для один раз статически неопределимой неразрезной балки (рис. 5.32, а) изгибающие моменты будут равны:
- в левом пролете
Оптимальное проектирование

- в правом пролете
Оптимальное проектирование

Ординаты вершин многоугольника материалоемкости (рис. 5.32, b) определяем выравниванием изгибающих моментов. Подстановкой X в формулы (5.198)—(5.201) определяем моменты М1, М2 и М3, М4. Наибольший момент по абсолютному значению из каждой пары определяет пластическую несущую способность соответственно левого и правого пролетов Mpl,1 и Mpl,2. Числовые значения U для каждого X следуют из формулы (5.176).
На рис. 5.32, d показан график производной целевой функции
Оптимальное проектирование

с использованием безразмерных координат du/dx=1/l dU/dX и х. Схему вычисления значенияdU/dX поясним для значений
Оптимальное проектирование

Для дважды статически неопределимой системы можно применить способ проекций отметок многогранника в направлении U на плоскость X1x2. Числовые значения целевой функции в этом случае могут быть выражены на так называемом слоистом плане. Пример такого построения приведен на рис. 5.33. Лишние неизвестные метода сил X3 и X5 и оси плана здесь обозначены в соответствии с критическими сечениями 3 и 5 балки. Толстые линии (желоба) разделяют области (скаты) с различными решающими моментами в левом и правом пролетах балки. Точкам этих прямых попарно соответствуют выравненные изгибающие моменты в разных сечениях. Числа у горизонталей указывают направление ската многогранника. Минимуму целевой функции U отвечает наиболее низкая точка, лежащая на пересечении наибольшего числа желобов, а именно:
Оптимальное проектирование

Вместо горизонталей в отдельных областях рис. 5,33 можно записать численное значение частных производных ∂U/∂X3 и ∂U/∂X5. Минимум функции U находится там, где обе частные производные одновременно изменяют знаки.
Оптимальное проектирование

Описанное графическое изображение можно применить для расчета дважды статически неопределимой конструкции с большим числом стержней и с сечениями, имеющими различные пластические несущие способности. При более высокой степени статической неопределимости необходимо применять специальные расчетные методы.
Расчетные методы.
Метод распределения моментов. Как было показано ранее, изгибающие моменты в конструкции можно распределить самыми различными способами при условии, что их распределение будет статически возможным. При этом числовые значения и изменения сечения (рис. 5.34) определяются требованиями статической безопасности, а пластическая несущая способность сечений не может быть меньше, чем соответствующий изгибающий момент.
Оптимальное проектирование

Для конструкций со стержнями постоянного сечения последовательность расчета остается в основном без изменений и в задачах оптимального проектирования. Можно отметить лишь следующие отличия. Поскольку отношения пластических несущих способностей стержней при оптимальном проектировании заранее не известны, приведенные изгибающие моменты не применяются. Критерий для сочетания изгибающих моментов выражается формулой (5.176). Целевая функция уменьшается при каждом новом распределении изгибающих моментов; при этом стремятся к образованию кинематического механизма с возможно большим числом шарниров, т.е., как отмечалось ранее, к избыточному механизму. Пластические несущие способности стержней определяются экстремальными значениями последнего распределения изгибающих моментов.
Рассматриваемые в дальнейшем теоремы Фолкиса позволяют убедиться, что при последнем распределении моментов либо реализуется минимум функции (5.176), либо получается достаточно экономичное решение, которое может быть принято благодаря некоторым преимуществам (например, наиболее выгодное объединение профилей для некоторой группы стержней).
Применение многогранника материалоемкости. Из множества возможных способов рассмотрим здесь один расчетный метод с применением многогранника материалоемкости для дважды статически неопределимой конструкции.
В трехмерном пространстве U, X1, X2 опускаемся в многоугольнике материалоемкости попеременно в плоскостях, параллельных координатным плоскостям UX1 и UX2, до тех пор, пока не дойдем до самого низкого излома - пересечения с другим многоугольником. Затем из этой точки продолжаем спуск по пересечению многоугольников перпендикулярно первоначальному направлению.
Первоначально примем X2I=0 и определим координаты желоба X1I≤0 в I приближении. Далее принимаем X1I=const и определяем X2II≤0 во II приближении. Минимума U достигнем, когда в последующих двух приближениях придем к тем же результатам [X1, X2].
Например, при определении Xf справедлива последовательность
Оптимальное проектирование

Моменты ±Mk принимаем равными друг другу для всех опасных сечений k и определяем соответствующие неизвестные Х2. Так, из равенства +Ma=+Мb следует
Оптимальное проектирование

Подобные соотношения имеем и для других равенств.
Определенные таким образом X2 упорядочим по их значениям. Все они являются ординатами вершин соответствующего многоугольника, который образован в результате пересечения плоскости UX1I с многогранником материалоемкости U=U(X1, X2). Для каждого значения X2 вычисляем все моменты Mk, а для каждого элемента i выберем из них max[Mki]=[Mi]. Затем можем определить sgnMi=sgnMi значения M02i или M02i* и вычислить суммы Σ sgn Мi* M02i с новыми членами в порядке возрастания значений X2. Искомым значением X2II (ордината самой низкой точки соответствующего многоугольника) будет то, при котором приведенное выражение изменит знак.
Далее подобным способом определяем X1II из соотношения
Оптимальное проектирование

Для систем с более высокой степенью статической неопределимости последовательность решения аналогична изложенной выше, однако решение более продолжительно и трудоемко. В цикле итерации (например, Y) все XhIV кроме одного (например, X1) всегда имеют постоянное значение; X1 является первой переменной соответствующего итерационного цикла. После определения ее значения X1V для самой низкой точки соответствующего многоугольника переменной величиной становится, например X2. После определения X2V обычным путем находим все остальные значения от XhV до XnV.
Оптимальное проектирование

Подобным образом проводятся и дальнейшие итерации. Минимуму целевой функции (5.197) соответствуют изменения знаков всех производных
Оптимальное проектирование

Пример. Для неразрезной балки, показанной на рис. 5.35, а, указанным способом получим результаты, которые характеризуются положением 2 базовой линии. С помощью формулы (5.206) выполним контроль оптимальности распределения изгибающих моментов.
Основной системой являются простые балки; в качестве лишних неизвестных X1 и X2 принимаются изгибающие моменты на опорах. Учитывая симметрию конструкции, имеем X1 = X2 = X; поскольку пролеты балки одинаковы, вместо формулы (5.206) можно применить формулу
Оптимальное проектирование

Соответствующие значения величин приведены на рис. 5.35, с.
Оптимальное проектирование

При Х=0,5М±0 производная dU/dX изменяет знак; положение 2 базовой линии эпюры моментов определяет оптимальное распределение изгибающих моментов. Необходимые пластические несущие способности сечений конструкции с минимальной материалоемкостью даны на рис. 5.35, d.
Применение теорем Фолкиса. Ранее показано, как при заданных отношениях пластических несущих способностей сечений стержней с использованием статической и килематической теорем можно определить предельную пластическую нагрузку или хотя бы оценить ее нижнее и верхнее значения. В задачах оптимизации подобное значение имеют теоремы Фолкиса; они ограничивают минимум целевой функции (5.176), пропорциональной материалоемкости конструкции.
Теорема 1. Если r стержней конструкции со стержнями постоянного сечения имеют разные пластические несущие способности при изгибе Mpl,i (i=1,.., r), всегда можно найти хотя бы одно такое решение задачи наименьшей материалоемкости, при котором механизм разрушения конструкции будет иметь не менее r степеней свободы.
Теорема 2. Если предельное состояние конструкции наступает в результате образования механизма разрушения, соответствующего материалоемкости (далее называемого механизмом HO), и соответствующее распределение изгибающих моментов статически допустимо, то такая конструкция обладает наименьшей материал о емкостью.
Tеорема 3. Если предельное состояние конструкции наступает в результате образования действительного механизма разрушения, которому соответствует статически допустимое распределение изгибающих моментов, то материалоемкость такой конструкции больше или равна наименьшей материалоемкости.
Tеорема 4. Если предельное состояние конструкции наступает в результате образования механизма HO, однако отвечающее ему распределение изгибающих моментов не является статически допустимым, то материалоемкость такой конструкции будет меньше, чем действительная наименьшая материалоемкость.
Число степеней свободы кинематического механизма разрушения выражается разностью между числом m пластических шарниров и числом n избыточных связей системы
Оптимальное проектирование

Тогда с учетом теоремы 1 число пластических шарниров в конструкции с наименьшей материалоемкостью должно выражаться формулой
Оптимальное проектирование

Механизм разрушения, соответствующий материалоемкости, образуется при выполнении условий
Оптимальное проектирование

Обозначим
Оптимальное проектирование

B формуле (5.211) учитываются все шарниры в стержне i.
Если сечения большинства стержней (кроме одного) имеют одну и ту же пластическую несущую способность при изгибе, то в числителе и знаменателе формулы (5.210) можно принять суммы соответственно углов и длин для всех этих стержней.
Формула (5.210) показывает, что коэффициенты при моментах в правых частях уравнений для виртуальной работы (5.24) и целевой функции (5.176) пропорциональны. В геометрической интерпретации это означает, что при выполнении условий о статической допустимости изгибающих моментов плоскость, представляющая целевую функцию, выходит из пространства допустимых решений через граничную плоскость, ей параллельную. При этом граничная плоскость имеет с пространством допустимых решений только одну общую точку — вершину, характеризующую конструкцию с наименьшей материалоемкостью. Например, на рис. 5.31, b, где плоскости преобразуются в прямые, речь идет о прямой u=4 и sVII=1 и о вершине [1.25; 0,5]; условие параллельности определяется соотношением (5.212).
Если условие статической допустимости изгибающих моментов не выполняется, то при этом вся плоскость не принадлежит области допустимых решений (на рис. 5.31,b, например, sVII=1).

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: