Расчет перекрестных балок основан на тех же принципах, которые применяются для расчета рам и статически неопределимых балок. Однако в общем случае отличие заключается в том, что перекрестные балки кроме изгиба испытывают еще и кручение. Тогда при определении несущей способности сечений необходимо принимать пластические изгибающие моменты с учетом влияния вручения.
Влияние стесненного кручения, типичного для перекрестных балок, рассмотрено A.И. Стрельбицкой, влияние свободного кручения — П.Г. Ходжем. В практических расчетах кручение во многих случаях имеет второстепенное значение. В других случаях в зависимости от типа перекрестных балок, их опирания и нагрузки кручение вообще не проявляется. Поэтому при расчете перекрестных балок кручение часто не учитывается, что значительно упрощает расчет. Если нагрузка не вызывает появления внешних крутящих моментов и если при упрощенном расчете не учитывается жесткость стержней при кручении, то такой расчет дает результаты с запасом прочности.
В дальнейшем рассмотрим некоторые элементарные примеры с цельно ознакомить читателей с проблемой. Более подробное исследование этих вопросов можно найти в литературе.
Две перекрестные балки. Рассмотрим систему из двух балок, показанную на рис. 5.27. Балка II выполняет функцию упругой опоры для неразрезной балки I. Упругое перемещение опоры 3 не влияет на пластическую несущую способность балки T, однако оказывает влияние на ее перемещение и процесс пластификации. В этом случае первый пластический шарнир не возникает в сечении 3 как в балке с неподвижными опорами. Однако, в любом случае пластическая несущая способность полностью используется в результате образования пластического механизма разрушения. При статическом решении упругое перемещение опоры 3 не должно учитываться.
В зависимости от жесткости балки II необходимо различать два случая. Если балка П достаточно жесткая, то механизм разрушения образуется только в балке 7. При меньшей жесткости балки II образуется комбинированный механизм разрушения в двух балках.
Образование механизма разрушения в балке Т. При решении задачи методом сил в качестве лишнего неизвестного примем V3 (рис. 5.27,b). При этом можно записать
Пластические шарниры однозначно находятся в сечениях 3 и 4, т.е. M3 = +Л/ pf3 и M4 = -M£ . Для определения предельной пластической нагрузки Ppt система уравнений (5.137) получит вид
Реакция V3 является внешней нагрузкой для балки II (рис. 5.27, с). Если одновременно с первой балкой необходимо полностью использовать пластическую несущую способность второй балки, то должно быть выполнено условие
Из равенства двух значений для v3 получим
Зависимость (5.142) выражает условие работы системы двух балок согласно принятой нами схеме. При этом пластический шарнир в балке II должен возникнуть последним или не должен возникнуть вообще. Это выполняется при условии, что реакция v3, вычисленная по формуле (5.140), равна или меньше, чем по формуле (5.141), следовательно
При одинаковых пределах текучести σfl материала обеих балок это условие можно записать с использованием отношения пластических моментов сопротивлений Z(I)/Z(II).
Образование механизма разрушения в двух балках. Это явление наблюдается при выполнении условия
В качестве лишнего неизвестного принимаем реакцию V2 (рис. 5.28, а). Основные уравнения при решении задачи методом сил имеют вид
Предположим, что при нагрузке Ppl,1 пластические шарниры возникнут в обеих балках в сечениях 3 (рис. 5.28, b), т.е. M3(I) = Mpl(I) и M3(II) = Mpl(II). В соответствии с уравнениями (5.145) можно записать
откуда
Зависимость (5.147) установим еще и кинематическим методом с использованием принципа виртуальной работы. Виртуальные перемещения пластического шарнирного механизма показаны на рис. 5.28,b тонкими линиями. Из равенства перемещения f3 для обеих балок получим зависимость между углами поворота.
Уравнение виртуальной работы имеет вид
откуда для Ppl,1 получим зависимость (5.147).
В результате выбора расположения пластических шарниров в обоих методах выполнено условие кинематической теоремы, использованием статических уравнений (5.145) выполнено также и условие статически возможного распределения изгибающих моментов. Чтобы на основе объединенной теоремы установить, является ли нагрузка Ppln предельной пластической, необходимо убедиться в том, что распределение изгибающих моментов является безопасным.
После подстановки (5.147) и (5.148) в первое уравнение (5.145) получим
Это означает, что распределение изгибающих моментов для принятого механизма разрушения не является безопасным последовательно, Ppl,1 в формуле (5.147) не является предельной пластической нагрузкой.
Рассмотрим пластический механизм согласно рис. 5.28, с, тогда M4 = +Mpl(I) и M3(II) = +Mpl(II). Подставляя эти значения в уравнения (5.145), получим
откуда находим
Для виртуальных перемещений системы балок (рис. 5.28, с) выполняются соотношения f4 = υ1l1/2 и = υ2l2/2; тогда υ2=υ1l1/l2. Подставляя их в уравнение виртуальной работы, получим
Отсюда можно определить Ppl,2 кинематическим методом.
Если в выражение (5.152) внести ограничительное условие (5.144), то получим
Поскольку изгибающий момент M3(I), определенный из второго уравнения (5.145), равен
то условие безопасного распределения изгибающих моментов будет зависеть от отношения пластических изгибающих моментов Mpl(I) и Mpl(II).
Если в условии (5.144) примем равенство, то получим M3(I)=-Mpl(I). Этот результат совпадает с граничным случаем предыдущего шарнирного механизма.
Если при безопасном распределении моментов изгибающий момент должен находиться в интервале [- Mpl(I); +Mpl(II)], то другое ограничение решения следует из условия M3(I)=+Mpl(I). Подстановка его в выражение (5.156) дает Mpl(II)=0, т.е. нулевую несущую способность балки II.
Таким образом, если пластическая несущая способность балки II принимает значения от нуля до значения, вычисляемого по формуле (5.144), то определенная по формуле (5.152) нагрузка Ppl,z является предельной пластической нагрузкой Ppl для системы балок.
Если расчетную нагрузку обозначить P, то необходимо, чтобы при определении несущей способности выполнялось условие
Перекрестные балки для квадратного в плане перекрытая. В литературе описаны решения для перекрестных балок на квадратном и прямоугольном планах с простым опиранием и защемлением на опорах. В качестве иллюстрации расчета балок кинематическим методом приведем пример из работы.
Определим пластическую несущую способность системы трех перекрестных в обоих направлениях балок с простым опиранием на опорах для квадратного в плане перекрытия. Пластические моменты сопротивления сечения для всех балок постоянны. Coсредоточенные силы P приложены во всех узлах. Схема перекрытия приведена на рис. 5.29.
Уравнение виртуальной работы для основного механизма по рис. 5.29, а имеет вид
После подстановки fg=l*υ получим
Для механизма разрушения по рис. 5.29,b имеем
откуда при f=lυ находим
Этот результат, согласно кинематической теореме, более близок к значению предельной нагрузки,чем получаемый по формуле (5.159).
Вычислим еще пластическую несущую способность для механизма разрушения, приведенного на рис. 5.29, с.
Поскольку стержень 79 в сечении 8 не имеет пластического шарнира, для виртуального перемещения механизма выполняются равенства fg=2f8, f6=2f5 и f8=2f5.
Тогда можно записать
Уравнение виртуальной работы имеет вид
Как будет доказано, вычисленная нагрузка Ppl,3 является искомой предельной пластической нагрузкой Ppl. Перед доказательством выполнения условий статической теоремы определим эту нагрузку Ppl,3 еще методом сил.
В качестве лишних неизвестных примем вертикальные силы V4, V6, V7, V9 и изгибающие моменты M65, M98 (рис. 5.30) . При этом изгибающие моменты в узлах можно выразить формулами
В соответствии с принятыми пластическими шарнирами (см. рис. 5.29, с) при P=Ppl,3 имеем M65 = ±Mpl, M85 = +Mpr, M96 = +Mpl, M98 = +Mpl. При подстановке этих значений в предыдущую систему уравнений (5.166) получим новую систему четырех уравнений с пятью неизвестными:
Это означает, что принятый пластический шарнирный механизм является частичным.
Из системы уравнений (5.167) путем исключения неизвестных величин V6 и V9 получим
Предыдущие уравнения дают возможность определить вертикальные силы и изгибающие моменты M54=M56, M52=M58 и M87=M89, однако еще не позволяют установить, является ли соответствующее распределение моментов безопасным. Используем симметрию системы в отношении геометрии и нагрузки, на основании чего для узла 9 (рис. 5.29, d) можно определить V9 = Ppl,3/4 = Mpl/(4l). После этого из уравнений (5.167) и (5.168) находим V4=3Mpl/(4l), V6=Mpl/(4l) и V7=3Mpt/(4l).
Изгибающие моменты в узлах, не имеющих пластических шарниров, согласно системе уравнений (5.166), будут равны
Изгибающие моменты изменяются между узлами по линейному закону и поэтому их значение в любом сечении не превышает Mpl. Тогда распределение изгибающих моментов будет безопасным и искомая предельная пластическая нагрузка будет равна
Размеры поперечных сечений балок определим из условия P≤Ppl или