Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения





















Яндекс.Метрика

Методы упругих решений

Упругие расчеты теоретически и методически хорошо освоены и имеют свои несомненные преимущества, что вызывает стремление применять принципы теории упругости в некоторых пластических решениях, главным образом в тех случаях, когда сечение только частично пластифицировано.
Приведем три способа решения пластических задач методами упругих решений:
1) решение разделяется на упругое и на коррекцию, обусловленную нелинейной диаграммой работы материала; расчеты уточняются последовательными приближениями;
2) применяются формулы и методы, известные в теории упругости, с соответствующей корректировкой геометрических характеристик, которые определяются прямым расчетом, иногда с определенными упрощениями;
3) предельные нагрузки для рассматриваемого сечения определяются таким образом, что сечение постепенно уменьшается исключением пластифицированных частей. При определении пластической несущей способности системы в целом с увеличением нагрузки постепенно понижается ее статическая неопределимость за счет включения новых пластических шарниров.
Методы упругих решений

Итерационный метод. Нелинейную зависимость между напряжением и относительным удлинением (рис. 2.49, а, с) запишем в виде
Методы упругих решений

Рассмотрим элемент, находящийся под действием нормальной силы и изгибающих моментов в двух главных плоскостях. Получим формулу для определения напряжений. В соответствии с предпосылкой о плоских сечениях относительная деформация в сечении может быть выражена формулой
Методы упругих решений

Условия равновесия в сечении имеют вид
Методы упругих решений

Методы упругих решений

Подставляя σ из формулы (2.258) и в из формулы (2,259) в условия (2.260) - (2.262) с учетом зависимостей для определения центра тяжести сечения ∫FxdF=0 и ∫FydF=0, получим
Методы упругих решений

После подстановки значений силовых факторов из формул (2.263)-(2.265) в формулу (2.259) получим выражение для определения относительной деформации ε в виде суммы упругой деформации εel и ее коррекции εψ:
Методы упругих решений

Выражение для нормального напряжения получим, подставляя ε из формулы (2.269) в формулу (2.258), также в виде суммы упругого напряжения σel и его коррекции σψ, что является результатом нелинейности диаграммы работы (ψ≠0):
Методы упругих решений

Расчеты выполняем следующим образом.
В первом приближении (обозначено индексом I) расчет производим по упругой стадии работы материала (ψI=0, εψI=0, σψI=0) и сравниваем εI≤εfl ; при этом корректировка не требуется.
Для точек пластической области (εI≥εfl) во втором приближении (обозначено индексом II) по соответствующим графикам или формулам (рис. 2.49) определяем ψII=ψ(ε) и выполняем корректировку внутренних сил NψII, MψII, MyII по формулам (2.266)-(2.268). Корректирующий расчет можно упростить, применив приведенные сечения с использованием элементарных площадей dFψ=ψdF.
На каждом этапе вычислений корректируем результаты предыдущего приближения и уточняем границы пластических областей. Вычисления продолжаем до тех пор, пока разница в результатах двух приближений будет соответствовать заданной степени точности. В последнем приближении напряжения σ определяем по формулам (2.272)-(2.274).
Поясним процедуру вычисления прогибов. Рассмотрим балку постоянного сечения по крайней мере с одной осью симметрии. Балка загружена нагрузкой, действующей в плоскости симметрии и вызывающей изгибающие моменты Mx. При этом часть балки находится в области пластических деформации. С учетом формул (2.259) и (2.265) для относительной деформации получим зависимость
Методы упругих решений

По аналогии с известным выражением из теории упругости
Методы упругих решений

формулу можно (2.275) представить в виде
Методы упругих решений

Для определения прогибов или углов поворота можно, например, применить теорему Мора с учетом того, что моменты М, увеличены на корректирующее значение Mxψ (другой способ расчета с увеличенными изгибающими моментами приведен далее). Согласно теореме Мора, эпюра изгибающих моментов от фиктивной нагрузки q=1/p является линией прогибов, а эпюра поперечных сил от этой нагрузки q=1/p) является линией углов поворота сечений заданной балки.
Подставляя в формулу (2.261) значения σ и ε соответственно из (2.258) и (2.276), получим
Методы упругих решений

Методы упругих решений

Вместо увеличения изгибающих моментов поправки можно вводить в моменты инерции. Подставляя формулу (2.278) в (2.277), получим
Методы упругих решений

Пример вычисления Ixψ, для двутаврового профиля с полностью пластифицированными поясами показан на рис. 2.50; при этом изменение ψ в поясах принято приближенно - в виде прямолинейной зависимости с максимальным значением ψp для внешних и равным нулю для внутренних волокон поясов.
Итерационный метод упругих решений можно применять при исследовании устойчивости с учетом деформированной схемы; в процессе последовательных приближений учитывается возрастающее действие продольных сил (N+Nψ) вследствие появления прогибов V. При вычислении прогибов, согласно теореме Мора, в формуле (2.277) изгибающие моменты (Mx+Mxψ) увеличиваем на (N+Nψ)v.
Метод приведенных сечений. Рассмотрим метод для элемента, нагруженного изгибом в главной плоскости симметрии и продольной силой. Общая формула, в которой кроме продольной силы учитываются также двухосный изгиб и стесненное кручение.
Зависимость между нормальным напряжением и относительным удлинением можно выразить формулой
Методы упругих решений

Как и ранее, для определения напряжений имеем:
Методы упругих решений

Методы упругих решений

Прогиб v1 можно определить из уравнения
Методы упругих решений

Фиктивная нагрузка при определении деформации по Мору при N=0 равна
Методы упругих решений

В рассматриваемом случае исследование выполняется с использованием только приведенного сечения с учетом коэффициента приведения для элементарных площадей в формуле (2.284).
В качестве примера рассмотрим двутавровое сечение с одной осью симметрии, нагруженное сжатием N и изгибом Mх (рис. 2.51, а, b), которые вызывают в части сечения практические деформации. Установим распределение коэффициента ϗ ( рис. 2.51, d ), определяющего приведенное сечение (рис. 2.51, е).
Для упругой области (ε≤εfl) выполняется условие ϗ=1,0; для пластической области (ε≥εfl, σ=σfl) из формулы (2.282) получим
Методы упругих решений

Относительные деформации ε найдем из подобия треугольников для эпюры, изображенной на рис. 2.51, с; после подстановки ε в формулу (2.290) получаем
Методы упругих решений

Из условий равновесия внешних и внутренних сил и моментов получаем зависимости для определения высоты а упругой части сечения и напряжения в нижнем поясе σ2:
Методы упругих решений

Методы упругих решений

Положение нейтральной оси, являющейся началом отсчета j, определим из подобия треугольников
Методы упругих решений

Для облегчения вычисления статических характеристик приведенное сечение можно упростить согласно рис. 2.51, е, где приведение стенки выполнено по линейному закону.
Использование коэффициента ϗ приводит к так называемому первому приведенному сечению (обозначено I), которое применяется в задачах определения несущей способности и деформаций конструкций. При решении задач устойчивости применяется второе приведенное сечение (обозначено II), устанавливаемое с помощью коэффициента приведения M, определяемого по формуле (2.298) и рис. 2.49.
При некотором напряженном состоянии условия равновесия для приращении напряжений dσ определяются с учетом изменения касательного модуля Et по сечению (рис. 2.49, с)
Методы упругих решений

При этом выполняется условие
Методы упругих решений

Методы упругих решений

Подобно тому, как это было сделано выше, формулы типа (2.284)—(2.287) можно получить и для второго приведенного сечения, характеризуемого коэффициентом приведения M. Дня обозначения соответствующих характеристик используем индекс M(Ixm, Fм и т.п.).
Для определения критической силы Nст имеем дифференциальное уравнение
Методы упругих решений

В момент потери устойчивости можно учитывать разгрузку части сечения или конструкции, при которой материал работает упруго с начальным модулем упругости Е(М=1) , как показано для вертикально нагруженной рамы на рис. 2.52.
Для элементов из материала, диаграмма работы которого следует диаграмме Прандтля, области сечений, находящейся в стадии текучести, становятся практически неэффективными, так как при ε≥εfl М=0 (рис. 2.49).
Метод последовательной пластификации. Этот метод можно применять при определении предельной нагрузки для отдельных сечений и всей конструкции в целом.
Пластическая несущая способность сечения. Рассмотрим сечение из идеального упругопластического материала, нагруженное нагрузкой, для которой напряженное состояние можно определить методами упругости (рис. 2.53). Результирующую нагрузку, вызывающую пластификацию сечения, обозначим Ppl; кратную часть этой нагрузки обозначим P0. Разделим сечение на n относительно малых площадок, каждая из которых (i-я) воспринимает часть предельной нагрузки Pi P0 (где Pi — коэффициент последовательной пластификации). Полная предельная нагрузка, которую воспринимает сечение, в соответствии со статической теоремой (п. 5.3.1) может быть выражена формулой
Методы упругих решений

Отдельные составляющие предельной нагрузки PiP0 определим следующим образом. На основе упругого расчета устанавливаем нагрузку PiP0, которая вызывает в центре тяжести площадки 1 приведенные напряжения, равные пределу текучести σsr=σfl; в остальных площадках сечения 2 .........n напряжения меньше. Предполагаем, что на площадке 1 происходит свободная деформация; напряжения в ней не возрастают и дальнейшее приращение напряжений эта площадка не воспринимает. В связи с этим поперечное сечение уменьшаем на величину площадки 1.
В следующем приближении вычисляем составляющую нагрузки р2Р0, которая в сумме с нагрузкой р1Р0 пластифицирует площадку 2. При этом принимаем приведенное сечение без площадки 1; его напряженное состояние определяем в соответствии с упругим расчетом.
В результате последовательного приведения сечения происходит изменение его площади, положения главных осей и центров изгиба.
Указанным способом действуем до тех пор, пока все части рассматриваемого сечения не будут пластифицированы или пока не будет исчерпана деформативная способность материала. Во втором случае при каждом приближении последовательных пластификации определяем и относительные деформации пластифицированных площадок с учетом деформаций упругой части сечения.
Для материалов с ограниченными деформациями, которые не должны превышать устанавливаемой предельной εmez, процесс увеличения пластической несущей способности P0ΣPi прекращаем, когда в некоторой площадке j превышена деформационная способность из-за возникновения в ней относительной деформации εj≥εmez.
Методы упругих решений

В этом случае пластическая несущая способность вычисляется по формуле (2.300), в которой n — число только пластифицированных площадок сечения.
На рис. 2.53 площадки пронумерованы в порядке последовательного наступления пластификации (1, 2, 3 .......n). В общем случае этот порядок заранее неизвестен, и пластификация может происходить в любой последовательности (например, 5,8, n ......1).
Пластическая несущая способность конструкции. При определении предельной нагрузки для конструкции в целом нагрузку постепенно увеличивают таким образом, чтобы, кроме перераспределения напряжений в наиболее напряженных сечениях, происходило и перераспределение изгибающих моментов с последовательным появлением все новых пластических шарниров, снижающих статическую неопределимость конструкции. Действие этих шарниров определяется пластической несущей способностью сечений, например, в простейшем случае изгиба с помощью предельных пластических моментов Мpl. Перераспределение усилии в конструкции в результате появления пластических шарниров и снижения за счет этого степени статической неопределимости на каждой стадии определяем методами упругих расчетов (например, методами перемещений, сил и т.п.). Для решения сложных задач, а также для анализа устойчивости с учетом деформированной схемы эффективно применение ЭВМ.
На ранних этапах развития метода расчета систем с учетом пластических деформаций преобладали методы строительной механики, на основе которых разрабатывались программы для ЭВМ. В настоящее время все шире применяются метода математического программирования.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: