Элемент, подверженный действию стесненного кручения




Главная
Новости
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Воздухоопорные сооружения
Грунтовые основания




29.09.2020


29.09.2020


29.09.2020


29.09.2020


28.09.2020


28.09.2020


24.09.2020


24.09.2020


24.09.2020


23.09.2020





Яндекс.Метрика

Контакты | Карта сайта
         » » Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Элемент, подверженный действию стесненного кручения

18.02.2015


Исследуем несущую способность элементов, подверженных действию изгибающих моментов, продольных и поперечных сил, а также стесненного кручения. Предполагаем, что теория стесненного кручения упругих элементов читателям известна, т.е. известны, в частности, понятия секториальной координаты, секториального полюса, секториальных статических характеристик сечения, центра изгиба, бимомента, момента стесненного кручения и т.п. Эти понятия можно найти в литературе.
Вопросы стесненного кручения неупругих элементов разработаны не так глубоко, как это сделано для упругих элементов.
Дальнейшее изложение материала будет выполнено главным образом на основе результатов работ A.И. Стрельбицкой.
Будем рассматривать элементы с открытым контуром сечения, так как для них влияние стесненного кручения проявляется в наибольшей мере даже при простейшем загружении.
В основу расчета незамкнутых тонкостенных элементов будут положены предпосылки, а также две известные гипотезы, рассмотренные ранее о недеформируемости контура поперечного сечения и об отсутствии сдвигов в срединной поверхности.
Система координат, центр изгиба. Отнесем сечение к прямоугольной системе координатных осей X, У, Z таким же образом, как это принято в работе А.И. Стрельбицкой. Начало отсчета поместим на оси стержня Z, проходящей через центр тяжести сечения (рис. 2.43). Кроме основных координат х, у, z вводятся секториальные координаты ω, отсчитываемые от центра изгиба.
Так же, как и в случае упругого стесненного кручения, в пластической стадии работы особой осью элемента является геометрическое место точек центров изгиба его сечений. Эта ось обладает следующим свойством: если через нее во всех поперечных сечениях проходит равнодействующая внешней нагрузки, то стесненное кручение элемента отсутствует. Если же равнодействующая нагрузки хотя бы в одном сечении не проходит через эту ось, то элемент подвергается стесненному кручению.
В сечениях с двумя осями симметрии центр изгиба совпадает с центром тяжести T сечения; для сечений с одной осью симметрии центр изгиба лежит на этой оси.
В дальнейшем будем рассматривать сечения с одной осью симметрии, так как в стальных конструкциях они встречаются наиболее часто. Здесь неизвестной является только одна координата центра изгиба So (рис. 2.44). Ее можно определить из условия, что бимомент равен нулю, когда равнодействующая внешней нагрузки проходит через эту точку. При этом
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

При полной текучести (без учета влияния сдвига) выполняется условие [σ]=σfl, с учетом которого формулу (2.180) можно представить в виде
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Отсюда получим условие для определения центра изгиба сечения в пластическом состоянии:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Определим центр изгиба для швеллерного сечения (рис. 2.44, а).
Сечение симметрично относительно оси X, следовательно, центр изгиба лежит на этой оси; при этом ySo=0 и достаточно определить только координату xSo. Эпюра секториальныx площадей ω с полюсом в точке Sо показана на рис. 2.44, b. Расстояние между центром изгиба So и вспомогательным полюсом А (точкой пересечения оси X и срединной линии стенки сечения) обозначим ax.
После вычисления определенного интеграла в формуле (2.182) получим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Откуда находим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Выражение в скобках является пластическим моментом сопротивления сечения при изгибе Zх. При этом имеем
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Если учесть, что для упругого стержня
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

где упругий момент сопротивления при изгибе (h=h0=hs) равен
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

то легко получим зависимость
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Поскольку коэффициент формы сечения при изгибе fx≥1, очевидно, что в неупрутом состоянии центр изгиба So приближается к стенке швеллера.
Формула (2.187) применима только в сечении, которое полностью пластифицировано, т.е. по всей его площади выполняется условие [σ]=σfl. Остальные сечения пластифицированы частично или находятся в упругом состоянии. Распределение нормальных напряжений при частичной пластификации показано на рис. 2.44, с (размер с обозначает высоту упругого ядра сечения). Если сечение полностью находится в упругом состоянии, то c=bo/2.
Из формулы (2.180) для упругопластического состояния следует
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Если учесть, что изгибающий момент в упругопластическом состоянии равен
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

то формулу (2.180) можно привести к следующему виду:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Величину Mx можно выразить как функцию нагрузки, длины и условий закрепления стержня. По длине стержня Mx изменяется в зависимости от координаты Z, причем является функцией Z и расстояния ax центра изгиба S0 до полюса A. В этом случае для балки постоянного сечения с одной осью симметрии линия центров изгиба в неупрутом состоянии является не прямой, а кривой, вид которой зависит от нагрузки. Для швеллерного, а также для других сечений в неупругом состоянии невозможно расположить внешнюю нагрузку так, чтобы она проходила через ось изгиба, т.е. всегда имеет место стесненное кручение.
Обобщенные пластические силы. В общем случае, сечение подвержено действию продольной силы N, изгибающих моментов Mx и My, поперечных сил Tx и Ty, бимоментов Bω; моментов свободного Mt и стесненного Mω кручения. Назовем указанные величины обобщенными силами и обозначим их символом М*. Постараемся выяснить, действуют ли эти силы раздельно при полной пластификации наиболее напряженного сечения элемента; соответствующие значения этих сил назовем предельными обобщенными силами или пластической несущей способностью сечения при данном нагружении.
С учетом изложенного можно записать
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Большинство формул для отдельных видов предельных обобщенных сил были приведены выше. Для наглядности они даны в табл 2.7. Необходимо пояснить последние две формулы в этой таблице.
Если на элемент действует только бимомент Вω, то пластическая несущая способность (предельный бимомент) при полной пластификации наиболее напряженного сечения равна:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Распределение σpl,ω полностью определено, если известны нулевые точки эпюры нормальных напряжений, имеющих вид прямоугольников с ординатами, равными пределу текучести σfl (эпюра меняет знак в нулевых точках).
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Для сечений с двумя осями симметрии (например, для двутавра) нулевые точки эпюры напряжений σpl,ω известны: они совпадают с точками пересечения оси симметрии со срединной линией сечения. При этом для бимомента можно записать
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Секториальный пластический момент сопротивления выражается формулой
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Для сечений, у которых нет осей симметрии прежде всего необходимо определить нулевые точки эпюры напряжении σpl,ω. Для этого при σpl,ω=σrl имеем следующие условия:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Зависимости (2.195) определяют положение нейтральной оси при изгибе стержня в направлении осей координат соответственно Y или X.
Если сечение имеет одну ось симметрии, достаточно использовать только одно из условий (2.195), так как одна из нулевых точек находится на пересечении оси симметрии со срединной линией сечения.
Например, для швеллерного сечения (см. рис. 2.44, а) одна из нулевых точек находится на пересечении оси симметрии X и срединной линии стенки. Положение нулевых точек в полках определяется координатой u, которую определим из уравнения
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Если известны нулевые точки, то эпюра σpl,ω полностью определена. Тогда можно выразить предельный бимомент в виде
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Подставив сюда значение u из формулы (2.197), получаем
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Секториальный пластический момент сопротивления равен
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Окончательная формула для предельного бимомента имеет вид
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Рассмотрим теперь элемент, на который действует только изгибно-крутящий момент (или момент стесненного кручения). Поскольку напряжения Тω от момента Мω распределены равномерно по толщине стенки, имеем
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Для пластического момента сопротивления, при стесненном кручении имеем
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Тогда формулу (2.202) можно представить в виде
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Условия пластичности элемента при совместном действии обобщенных сил. Элементы стальных конструкций большей частью нагружены различными комбинациями обобщенных сил. Здесь мы рассмотрим такие комбинации воздействий, которые содержат силовые факторы, вызывающие стесненное кручение.
Действие бимомента и крутящих моментов. В рассматриваемом случае в сечении действуют нормальные напряжения от бимомента и касательные напряжения от моментов свободного и стесненного кручения. При полной пластификации сечения эпюра нормальных напряжений σpl,ω от бимомента состоит из прямоугольников, имеющих разные знаки. Бимомент можно выразить формулой
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Элемент, подверженный действию стесненного кручения

откуда следует
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Касательные напряжения τpl,t от момента свободного кручения распределяются по толщине стенки в виде двух прямоугольников (см. рис. 2.40, d); при этом нейтральная ось проходит в середине толщины стенки. Если к ним прибавить касательные напряжения τpl,ω от момента стесненного кручения Mω, равномерно распределенные по толщине стенки, то нейтральная ось i-ой полоски профиля сместится на расстояние v (рис. 2.45, с). Строго говоря, напряжения τpl,ω изменяются по сечению и по длине элемента, в связи с чем изменяется и расстояние v. Поскольку влияние напряжений τpl,ω несущественно, это изменение не учитывается и предполагается, что величина v постоянна. Крутящие моменты Mt и Mω выражаются формулами:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Если из формулы (2.208) определить величину в V и подставить ее в формулу (2.207), то получим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Отсюда следует квадратное уравнение для касательных напряжении:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Решая это уравнение, находим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

После подстановки σpl,ω и τpl по формулам (2.206) и (2.211) в условие пластичности (1.26) получим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Разделив обе части этого уравнения на σfl2, находим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Численный анализ показывает, что влияние момента стесненного кручения Mω, как и в упругом состоянии, невелико. Полагая, что в формуле (2.213) Mω=0, получим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

В однопролетных балках, как правило, в первую очередь пластифицируется сечение, в котором действует наибольший бимомент. В то же время в этом сечении большей частью Mt=0, и зависимость (2.214) получает еще более простой вид:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

В двутавровом сечении (рис. 2.46, а) с двумя осями симметрии в поясах действуют напряжения Gω и τω, а в стенке — только тt. В неупругой стадии напряжения Tpl,t распределены по толщине стенки в виде двух одинаковых прямоугольников с разными знаками. Условие пластичности (2.213) принимает в этом случае следующий вид:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

являются пластическими моментами стенки и двух поясов сечения при свободном кручении.
Если не учитывать влияние момента стесненного кручения Mω, , то получим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Если считать, что в месте максимального бимомента большей частью Mt=0, то расчетная формула примет простой вид (2.215).
Действие изгибающего момента, поперечной силы, бимомента и крутящих моментов. Рассмотрим элемент с открытым сечением, в котором действуют изгибающий момент Mx, поперечная сила Ty, бимомент Bω, момент свободного кручения Mt и момент стесненного кручения Mω.
Нормальные напряжения б в сечении возникают от действия изгибающего момента Mx и бимомента Bω. При полной текучести сечения их распределения приведены для швеллеров на рис. 2.45, b, для двутавра на рис. 2.46, b. Расстояние от нулевых точек до оси Y обозначено u, a расстояние от начала отсчета координат O до срединной линии вертикальной стенки.
Изгибающий момент Mx и бимомент Bω можно выразить следующими формулами:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Исключал из формул (2.220) и (2.221) выражение (x0-u), а из (2.222) и (2.223) параметр u, получим после преобразования квадратные уравнения для определения нормальных напряжений σpl:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

где секториальный пластический момент сопротивления Zω, и величины C, D, K зависят от вида и размеров сечения. Их значения вычисляют по следующим формулам:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Уравнения (2.224) и (2.225) для швеллерного и двутаврового сечений имеют одинаковую структуру. Из решения этих уравнений находим нормальные напряжения
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Касательные напряжения в сечении появляются в результате действия поперечной силы T и моментов свободного Mt и стестенного Mω кручения. Их распределение по сечению при полной текучести приведено на рис. 2.45, с и 2.46c. Перемещения нейтральной оси касательных напряжений в стенке или в поясах обозначены соответственно vs и vp.
Силовые факторы Тy, Mt и Mω можно определить по приведенным ниже формулам.
Для швеллерного сечения
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

После подстановки vs и vp из формул соответственно (2.234) и (2.237) в формулу (2.235) и преобразований получим квадратное уравнение для определения касательных напряжений:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Для швеллерного сечения при b≈bo, hs≈ho, dp≤bo и ds≤ho (см. табл. 2.4) получим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Значения коэффициента αU приведены в табл. 2.6. Из решения уравнения (2.238) получим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

При выводе формул для двутаврового сечения в формуле (2.241) принимаем аx = 0, так как для двутаврового сечения центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения. Учитывая, что bc=b, получим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Значения коэффициента αI приведены в табл. 2.6.
После подстановки σpl из формулы (2.233) и τpl из формулы (2.241) в условие пластичности (1.26) и преобразований получим
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Если не учитывать влияние момента стесненного кручения Мω, а для статически определимых элементов также и влияние поперечных сил Tу, то условие пластичности примет более простой вид:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Пластический шарнир, как правило, возникает в сечении, в котором бимомент Bω и изгибающий момент Mx имеют наибольшие значения.
При этом большей частью момент свободного кручения Mt=0. В этом случае уравнение (2.244) принимает вид
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Действие продольной силы, изгибающего момента, бимомента и момента свободного кручения. Выше рассматривалось действие нагрузок, характерных для простых и неразрезных балок. В рамных конструкциях действуют также и продольные силы. Рассмотрим комбинацию нагрузок, типичную для ригелей рам: продольная сила N, изгибающий момент Mx, бимомент Вω и момент свободного кручения Mt. При этом влияние поперечной силы Ty и момента стесненного кручения Mω в связи с их малостью не учитываются.
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Усилия N, Mx, Bω вызывают нормальные σ, а крутящий момент Mt — касательные τ напряжения.
В дальнейшем рассмотрим элементы с двутавровыми сечениями, которые наиболее часто встречаются в практике строительства. На рис. 2.47 показано распределение напряжений в сечении в предельном состоянии. Расстояния от оси У до нулевых точек эпюр нормальных напряжений σ в поясах и расстояние от оси X до нулевой точки эпюры напряжений в стенке обозначены соответственно u1, u2 и us.
В этом случае статические величины могут быть выражены в следующем виде:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Решая систему уравнений (2.246)-(2.250) совместно с условием (1.26), получаем уравнение взаимодействия между N , Mx, Mt, Bω, которое является условием пластичности для данной комбинации нагрузок:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Для двутаврового сечения значение Zω определяется по формуле (2.230). Постоянные C, Д, К зависят от вида и размеров сечения и принимаются для двутаврового сечения, как и в предыдущем случае, по формулам (2.227), (2.231) и (2.232).
Из анализа условия (2.251) следует, что влияние нормальной силы N незначительно, в частности для ригелей одноэтажных однопролетных рам; поэтому силу N часто не учитывают. В этом случае условие пластичности (2.251) после преобразований принимает более простой вид (2.244).
Действие продольной силы, изгибающих моментов и бимоментов. Рассмотрим комбинацию нагрузок, которая является типичной для колонн рамы. Если не учитывать влияния поперечных сил Тх и Ту, а также момента стесненного кручения Mω, поскольку оно несущественно, то колонны рам нагружены комбинацией продольной силы N, изгибающего момента Mх, действующего в плоскости рамы, изгибающего момента My, возникающего в результате кручения ригеля и действующего перпендикулярно плоскости рамы, а также бимомента Вω.
Как и ранее, рассматриваем только рамы, состоящие из элементов с двутавровыми сечениями.
В результате действия указанных факторов в колонне рамы возникают только нормальные напряжения σ. В предельном состоянии они распределяются согласно рис. 2.48. Расстояния до нулевых точек в поясах и стенке до осей соответственно Y и X, как и ранее, обозначены up и us.
В этом случае для статических величин имеем следующие зависимости:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

После исключения из уравнений (2.253)-(2.255) парам up и us и преобразований условие пластичности для рассматриваемых нагрузок получит следующий вид:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Если в однопролетных одноэтажных рамах не учитывать влияние продольной силы N, то условие пластичности принимает более простой вид:
Элемент, подверженный действию стесненного кручения

Применение приведенных условий пластичности в практике проектирования будет показано далее, где рассмотрена несущая способность балок и рам, нагруженных не только изгибом, но и стесненным кручением.
Необходимо отметить, что нормы ЧСН 73 1401 не содержат требований по применению пластического расчета элементов, подверженных действию стесненного кручения.