Произвольное сечение. При свободном кручении элемента возникают только касательные напряжения в плоскости сечения, которые в силу взаимности τzx=τxz, τzy=τyz. При этом касательные напряжения τxy и все нормальные напряжения равны нулю. Условие равновесия в стержне можно записать в следующем виде:
Пусть материал соответствует предпосылкам, изложенным ранее. Условие пластичности σsp=σfl с учетом формулы (1.52) и зависимости для предела текучести при сдвиге τfl=τfl/√3, отвечающей критерию потенциальной энергии изменения формы тела, можно выразить формулой
Введем функцию пластических напряжений Ф. Чтобы эта функция отвечала уравнению (2.153), должны быть выполнены условия
После подстановки формул (2.155) в условие пластичности (2.154) получаем
Левая часть уравнения (2.156) представляет собой квадрат ската поверхности Ф. Тогда можно записать
Если сечение полностью пластифицировано, то поверхность Ф пластических касательных напряжений будет представлять собой поверхность равного ската, построенную над поперечным сечением элемента таким образом, что угол наклона линии ската к плоскости поперечного сечения φ=arε tg τfl. Поверхность Ф можно легко построить для любого контура сечения. Это можно сделать на основе правила построения "крыши" заданного ската φ над рассматриваемым контуром.
Из аналогии с кручением упругих элементов следует, что пластический крутящий момент (t - кручение) равен
Таким образом, пластическая несущая способность сечения элемента при свободном кручении численно равна удвоенному объему, ограниченному поверхностью Ф пластических касательных напряжений и площадью поперечного сечения. Например, для элемента круглого сечения радиусом r поверхность Ф имеет вид конуса высотой τflr. В этом случае крутящий момент в соответствии с формулой (2.158) равен
Для прямоугольного сечения (рис. 2.40, а) пластический крутящий момент вычислим как сумму объемов двух тел высотой τfld/2: трехгранной призмы с основанием (h-d) d и пирамиды с основанием d*d (рис. 2.40, с)
Распределение касательных напряжений по сечению показано на рис. 2.40,d.
Пластический крутящий момент Mpl,t можно записать также в следующем виде:
Несущую способность полностью пластифицированного сечения при кручении можно также выразить с помощью пластического момента сопротивления сечения при кручении
С учетом (2.162) имеем
Отношение пластического и упругого моментов сопротивления при кручении назовем коэффициентом формы сечения при кручении
Например, для узкого прямоугольника (d≤3h) по формуле (2.160) получим приближенно
В табл. 2.4 и 2.5 приведены пластические моменты сопротивления при кручении Zt для некоторых типов сечения. Кроме того, в табл. 2.5 даны соответствующие им коэффициенты формы сечения ft. Поверхность Ф45 можно моделировать в масштабе tg φ кучей песка с углом внутреннего трения ψ, насыпанного на горизонтальную пластинку, имеющую форму контура.
Поверхность Ф45 называют поверхностью Надаи. Она аналогична поверхности Прандтля, известной в теории упругого кручения. Используя обе поверхности, можно экспериментально определить распределение напряжений и значение крутящего момента для упругопластического состояния (рис. 2.41).
Тонкостенный элемент с открытым контуром сечения. Рассмотрим неупругoe вручение сечения, состоящего из узких прямоугольников d≤3h. Применяя правило "крыш" и результаты, изложенные ранее, пластический момент сопротивления сечения при кручении запишем в виде
Формула (2.165) справедлива и в том случае, если один из элементов сечения криволинейный; тогда необходимо подставить действительную (распрямленную) длину срединной линии этого элемента. Более точные формулы для определения пластического момента сопротивления Zt некоторых открытых сечений приведены в табл. 2.4.
Для прокатных и некоторых других сечений в формулу (2.165) необходимо вводить коэффициент χ, который учитывает влияние формы сечения. Его можно приближенно принимать таким же, как и для упругой работы сечения. В табл. 2.6 приведены значения для различных прокатных профилей.
В этом случае формула для пластического момента сопротивления при кручении запишется в виде
Коэффициент формы сечений, состоящих из узких прямоугольников, при кручении можно приближенно определять по формуле
Пластический момент сопротивления открытого сечения при свободном кручении примерно на 50% больше соответствующего упругого момента сопротивления.
Более точные формулы для определения t приведены в табл. 2.5.
Тонкостенный элемент с замкнутым контуром сечения. Метод определения пластического момента сопротивления при кручении на основе поверхностей постоянного ската можно применить и для замкнутых сечений. Если замкнутое сечение имеет постоянную толщину d (рис. 2.42, а), то вместо формулы (2.162) справедлива формула
Подобную зависимость применяют в упругих расчетах и называют формулой Бредта. Отсюда следует, что коэффициент формы тонкостенных замкнутых сечений при кручении ft=1,0.
Для примера в табл. 2.5 приведен пластический момент сопротивления Zt при кручении трубы.
Обобщенная формула
справедлива для сложных сечений (рис. 2.42, е, f), здесь di — толщина стенок внешнего контура сечения; толщины внутренних стенок в расчетах не учитываются.
Если толщина стенки замкнутого сечения переменна (рис. 2.42, с), то объем, ограниченный поверхностью постоянного ската, складывается из объема соответствующего сечения с постоянной толщиной стенки dmin и объема, ограниченного поверхностью постоянного ската остальной части сечения переменной толщины ds-dmin (рис. 2.42, d). Координата S отсчитывается по срединной линии сечения.
Для тонкостенных замкнутых сечений, применяемых для большинства стальных конструкций, можно записать