Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения





















Яндекс.Метрика

Элемент, подверженный чистому изгибу

Чистый изгиб в одной из главных плоскостей
Сеченые с двумя осями симметрии. Пусть в сечении действует изгибающий момент Mx от нагрузки (рис. 2.2), который возрастает до предельного значения. При этом сечение будет последовательно находиться в упругом, упруго пластическом и пластическом состояниях.
При упругой работе напряжения σ и относительные деформации ε в сечении распределены линейно (рис. 2.2, а). Это состояние ограничено достижением предела текучести σfl в крайних волокнах сечения. Соответствующий изгибающий момент
Элемент, подверженный чистому изгибу

Назовем его предельным упругим изгибающим моментом.
При достижении предела текучести в крайних волокнах несущая способность сечения еще не исчерпана. При дальнейшем возрастании изгибающего момента относительные деформации в сечении увеличиваются, и их эпюра остается линейной. Напряжения при этом увеличиваются в тех волокнах, в которых они еще не достигали предела текучести σfl. В зонах текучести напряжения сохраняют постоянное значение σfl (рис. 2.2, b). Изгибающий момент в таком упругопластическом состоянии с относительной деформацией ε1 на крайнем волокне сечения равен
Элемент, подверженный чистому изгибу

Дальнейшая стадия упругопластической работы сечения показана на рис. 2.2, с. В этом состоянии упругая часть относительно мала и сосредоточена возле нейтральной оси. Для вычисления изгибающего момента приближенно принимается прямоугольное распределение напряжений в растянутой и сжатой частях сечения. В этом случае упругая часть сечения становится равной нулю (Wel=0).
Изгибающий момент, соответствующий полной текучести сечения, называется предельным пластическим изгибающим моментом и определяется по формуле
Элемент, подверженный чистому изгибу

Формулы для вычисления пластического момента сопротивления Z для некоторых характерных сечений и значения коэффициентов формы сечения при изгибе f=Z/W приведены в табл. 2.1.
Элемент, подверженный чистому изгибу

Предельный пластический изгибающий момент Mpl характеризует предельную пластическую несущую способность сечений при изгибе.
Элемент, подверженный чистому изгибу

Оценим погрешность, которая возникает в результате допущения о распределении напряжений в виде двух прямоугольников. Для этого сделаем анализ теоретического выражения для упруго пластического момента в случае, когда относительная деформация в крайнем волокне ε1 достаточно велика (например, равна относительной деформации упрочнения реальной стали). Рассматриваемое распределение напряжений в упругопластическом состоянии (рис. 2.3, а), представим двумя эпюрами (рис. 2.3, b, с). Тогда изгибающий момент Мεx можно записать в виде
Элемент, подверженный чистому изгибу

Элемент, подверженный чистому изгибу

Для прямоугольного сечения имеем
Элемент, подверженный чистому изгибу

Для двутаврового сечения в соответствии с рис. 2.2,b находим
Элемент, подверженный чистому изгибу

Из подобия треугольников для деформаций ε получим зависимости
Элемент, подверженный чистому изгибу

Поскольку предел текучести является случайной переменной величиной, относительная деформация εfl для определенной стали может принимать разные значения. В результате статистического анализа предела текучести в работах, получено, что большая часть значений σfl находится в следующих интервалах:
- для стали класса 37
230Н/мм2 ≤ σfl ≤ 330 Н/мм2;
- для стали класса 52
330Н/мм2 ≤ σfl ≤ 430Н/мм2.
При этом соответствующие относительные деформации εfl равны:
для стали класса 37
0,0011 ≤ εfl ≤ 0,0016;
для стали класса 52
0,0016 ≤ εfl ≤ 0,0020.
Значение относительной деформации ε1 и ε1,s в крайних волокнах сечения и стенки принимаем ε1=ε1,s=0,012, что примерно соответствует деформации начала упрочнения стали при испытании ее на растяжение.
С учетом формул (2.21) получим:
- для стали класса 37
0,046 ≤ Уel/h ≤ 0,067;
- для стали класса 52
0,067 ≤ Уel/h ≤ 0,083.
Отношение Ml,x/Мpl,x в уравнении (2.17) дня прямоугольного сечения изменяется в пределах:
- для стали класса 37
0,0028 ≤ Мl,x/Mpl,x ≤ 0,0060;
- для стали класса 52
0,0060 ≤ Ml,x/Mpl,x ≤ 0,0092.
Для двутаврового сечения эти значения зависят не только от класса стали, но и от размеров поперечного сечения, которые могут быть охарактеризованы обобщенным параметром ρ, примерно равным отношению площади пояса к площади стенки. Для часто применяемых размеров сечений значения ρ даны на рис. 2.4.
Элемент, подверженный чистому изгибу

Полученные результаты показывают, что для рассмотренных поперечных сечений значения отношений Ml,x/Mpl,x в уравнении (2.17) значительно меньше 1,0 и их можно не учитывать. Имеются сечения, для которых численные значения Ml,x/Mpl,x не являются столь малыми, например, двутавровое сечение, нагруженное перпендикулярно стенке. Если в расчете учитывать площадь стенки, сосредоточенную возле нейтральной оси, то в принятой эпюре напряжений появляется скачок. В связи с этим более правильно учитывать в расчете только два пояса, т.е. прямоугольное сечение.
В заключение необходимо отметить, что если предельный пластический изгибающий момент Mpl,x определяют в предположении распределения напряжений по двум прямоугольникам в сжатой и растянутой областях сечения (см. рис. 2.3, b), то несущая способность оказывается преувеличенной незначительно. С другой стороны, в этом случае можно принимать допущение о малых деформациях и не учитывать эффект упрочнения материала.
Полностью пластифицированное сечение не может воспринимать дальнейшее увеличение изгибающего момента и при постоянной предельной нагрузке поворачивается, т.е. ведет себя как шарнир. Поэтому такое состояние сечения также называют пластическим шарниром.
Пластический шарнир качественно отличается от обычного шарнира. Необходимо отметить два основных отличия:
- обычный шарнир не способен воспринимать изгибающий момент, а в пластическом шарнире изгибающий момент равен Mpl;
- обычный шарнир допускает поворот в двух направлениях, а пластический шарнир только в направлении действующего момента Mpl. Приуменьшении изгибающего момента упруго пластический материал снова начинает работать как упругое тело.
В изложенных выводах учитывалось только действие изгибающих моментов. Наряду с этим должно быть выполнено и условие равновесия продольных сил, которое для пластического состояния выражается уравнением
Элемент, подверженный чистому изгибу

Это условие определяет положение нейтральной оси, дня нахождения которого сечение необходимо разделить на две равновеликие части. Для сечений с двумя осями симметрии нейтральная ось в пластическом состоянии совпадает с центральной осью сечения.
Как уже отмечалось, разгрузка происходит упруго, что определенным образом влияет на напряженное состояние сечения.
В дальнейшем мы не будем исследовать случаи разгрузки в упругопластическом состоянии, а остановимся на анализе полной разгрузки пластифицированного сечения.
Если при нагружении предельный пластический изгибающей момент равен Mpl,x=σflZx, то полная разгрузка сечения произойдет при действии изгибающего момента противоположного знака -Mpl,x=σWx (рис. 25, а, b), откуда
Элемент, подверженный чистому изгибу

Из формулы (2.24) следует, что условное напряжение при разгрузке можно определить по формуле
Элемент, подверженный чистому изгибу

Остаточные напряжения в крайних волокнах сечения при этом равны
Элемент, подверженный чистому изгибу

Распределение остаточных напряжений по высоте сечения приведено на рис. 2.5, с и d. Таким образом, напряжения в крайних волокнах сечения изменяют знак, а у нейтральной оси остаточные напряжения равны пределу текучести σfl.
Из уравнения (2.26) следует, что принятое предположение об упругой разгрузке выполняется при fx=Zx/Wx ≤ 2,0; в противном случае было бы σ1≥σfl. Сечения стальных конструкций в большинстве случаев соответствуют указанному значению отношений моментов сопротивления сечения.
Элемент, подверженный чистому изгибу

Сечение с одной осью симметрии. Пусть ось Y является осью симметрии сечения и изгибающий момент действует в плоскости УZ (рис. 2.6, а). В процессе его увеличения текучесть появляется в первую очередь в нижних, а затем и в верхних волокнах сечения. Процесс развития пластических деформаций зависит от положения центральной оси X.
Условия равновесия для упруго пластического состояния с одной осью симметрии приведены в работах. Здесь рассмотрим только случай полной пластификации сечения (рис. 2.6, b) и его разгрузки (рис. 2.6, с, d).
Условие равновесия нормальных сил
Элемент, подверженный чистому изгибу

приводит к тому же результату, как и в предыдущем случае, т.е. к формуле, аналогичной (2.23):
Элемент, подверженный чистому изгибу

Отличием является то, что нейтральная ось X- не совпадает с центральной осью X. Уравнение (2.28) является условием для определения положения нейтральной оси в сечении с одной осью симметрии.
Условие равновесия моментов в сечении имеет вид
Элемент, подверженный чистому изгибу

Таким образом, пластический момент сопротивления сечения может быть определен как сумма абсолютных значений статических моментов половин площади сечения относительно нейтральной оси:
Элемент, подверженный чистому изгибу

Разгрузка сечения, в котором образовался пластический шарнир, происходит неупруго. Упругая разгрузка сечения с одной осью симметрии возможна только в том случае, когда сечение находится в определенной стадии упругопластического состояния.
На рис. 2.6 показано распределение напряжений при разгрузке полностью пластифицированного сечения. Если бы разгрузка происходила упруго, распределение напряжений от разгружающего изгибающего момента имело бы вид, показанный на рис. 2.6, с штриховой линией. При этом суммарные напряжения от нагрузки и разгрузки (рис. 2.6, b, с) между центральной осью X и нейтральной X оказались бы большими, чем σfl. Эта область в процессе разгрузки исключена из рассмотрения. В ней действуют только пластические деформации. В результате уменьшения активной площади поперечного сечения должны возрасти напряжения от разгрузки, как это изображено сплошной линией на рис. 2.6, с. Нейтральная ось при разгрузке, совпадающая с центральной осью сечения (точка 1), перемещается в новое положение (точка 3).
Элемент, подверженный чистому изгибу

Суммарная эпюра остаточных напряжений от нагрузки и условных в результате разгрузки изображена на рис. 2.6, d. Напряжения σl в верхних волокнах не всегда изменяют знак, что определяется положением оси, проходящей через центр тяжести сечения. Если ось расположена близко от верхнего крайнего волокна, то напряжения σl меньше, чем σfl.
Примеры. Приведем примеры вычисления пластических моментов сопротивления сечений Zx или Zy.
Зависимость для определения пластического момента сопротивления дана уравнением (2.30) , в которое входят статические моменты половин площади сечения относительно нейтральной оси. Преобразуем эту формулу. Рассмотрим сечение с одной осью симметрии У (рис. 2.7), для которого X — центральная, а X- - нейтральная оси. Положение нейтральной оси X- определяется из условия (2.28).
Центр тяжести верхней половины площади сечения находится в точке Th, нижней - в точке Td. Пластический момент сопротивления Zх, определяемый уравнением (2.30), согласно рис. 2.7, можно выразить формулой
Элемент, подверженный чистому изгибу

Поскольку точка T является центром тяжести всего сечения, то расстояние между точками Th и T или Td и T равно r/2. Из этого следует другое определение, которое естественно распространяется и на сечения с двумя осями симметрии. Пластический момент сопротивления сечения равен удвоенному абсолютному значению статического момента половины площади сечения относительно оси X, проходящей через центр тяжести сечения.
Элемент, подверженный чистому изгибу

Чистый изгиб в одной из главных плоскостей балки неоднородного сечения. Общие решения. Пусть сечения балки состоят из верхнего и нижнего поясов и стенки, которые имеют разные пределы текучести, но одинаковый модуль упругости.
При увеличении изгибающего момента вначале текучесть появляется в крайнем волокне одной части сечения, а затем она распространяется по всему сечению. Место, в котором возникнут первые пластические деформации, зависит от отношения значений пределов текучести и геометрических размеров сечения.
При решении задач не будем заниматься анализом упруго пластического состояния, а рассмотрим только случай полного пластического шарнира.
Поперечное сечение балки и значения пределов текучести стали приведены на рис. 2.10, а. Распределение напряжений в упругом состоянии изображено на рис. 2.10, b, в пластическом шарнире на рис. 2.10, с.
Условие равновесия продольных сил в пластическом шарнире
Элемент, подверженный чистому изгибу

Его можно записать в виде
Элемент, подверженный чистому изгибу

Уравнение (2.33) является условием для определения положения нейтральной оси X-.
Элемент, подверженный чистому изгибу

Условие равновесия изгибающих моментов имеет следующий вид:
Элемент, подверженный чистому изгибу

Правая часть этого уравнения выражает предельный пластический изгибающий момент, который можно записать следующим образом:
Элемент, подверженный чистому изгибу

Запишем его в следующем виде:
Элемент, подверженный чистому изгибу

Часто применяется симметричное сечение F1=F2, в котором оба пояса имеют одинаковый предел текучести σfl,p. Тогда предельный изгибающий момент
Элемент, подверженный чистому изгибу

В практике обычно проектируют так, что стенка имеет меньший предел текучести, чем пояса. При этом необходимо тщательно проверить стенку на местную устойчивость с учетом влияния поперечных сил на несущую способность. Эти проблемы будут рассмотрены позднее.
По нормам ЧСН 73 1401 для сечений, в которых применены стали одного класса с разными расчетными сопротивлениями (например, сталь класса 37 - пояса толщиной более 25 мм с R=200 Н/мм2 и стенка толщиной до 25 мм с R=210 Н/мм2), не требуется выполнять расчет как для комбинированных сечений. В этом случае расчет проводят как для однородного сечения с меньшим расчетным сопротивлением.
Чистый изгиб в двух главных плоскостях. При косом изгибе в сечении действуют изгибающие моменты Mx и My. В лом случае предельное состояние сечения определяется не каким-либо одним из предельных пластических изгибающих моментов Мpl,x или Mpl,y в отдельности, а кривой взаимодействия между этими предельными изгибающими моментами
Элемент, подверженный чистому изгибу

Теоретическим решением задачи о косом изгибе занимался А.Р. Ржаницын. Его решение относится к произвольному поперечному сечению и основано на определении кривой центров тяжести половин площадей сечения при изменении направления плоскости изгиба.
Исследованием упругопластического и пластического состояний двутаврового и швеллерного сечений занималась А.И. Стрельбицкая. Приведем ее основные результаты для двутаврового сечения и оценим точность, получаемую при идеализации распределения напряжений в пластическом состоянии.
Зависимости между изгибающими моментами в упругопластическом состоянии. При косом изгибе двутаврового сечения могут иметь место четыре случая распределения напряжений (рис. 2.11). В случаях, показанных на рис. 2.11, а и 5, пластические деформации возникают только в отдельных частях поясов, а в случаях, представленных на рис. 2.11, с и d, в поясах и в стенке.
Целью решения является определение упруго пластических моментов Mε,x и Mε,y. Распределение относительных деформаций и напряжений, показаное на рис. 2.11, b, с, характеризуется значениями относительной деформации крайнего волокна пояса ε=kεfl и размерами а, с, u. C учетом задаваемого параметра k, определяющего превышение относительной деформации крайнего волокна по сравнению с εfl, для решения зада чи остается пять неизвестных.
Теоретическое решение для относительных изгибающих моментов Mε,x/Mpl,x и Мε,у/Mpl,y приведем только для случаев, показанных на рис. 2.11, b и d. Вместе с тем результаты, полученные для всех случаев развития пластических деформаций и нескольких значений k для характерного двутаврового сечения, покажем на графике.
Для случая, когда u>а (рис. 2.11, d), из подобия треугольников для эпюры относительных деформаций получим
Элемент, подверженный чистому изгибу

Элемент, подверженный чистому изгибу

После простых преобразований находим
Элемент, подверженный чистому изгибу

Подобным образом определяем
Элемент, подверженный чистому изгибу

Из условия равновесия изгибающих моментов Мх=Мε,х и Му=Мε,у пол учим следующие два уравнения:
Элемент, подверженный чистому изгибу

Элемент, подверженный чистому изгибу

Для случая, когда u≤а (рис. 2.11,b), выполняется условие (2.40) и для изгибающих моментов имеем
Элемент, подверженный чистому изгибу

Отношение u/(b/2) выполняет здесь роль параметра. Принимая его значения в интервале [0;1] для рассматриваемого сечения с характеристикой р=dpbh0/(ds hs2) и заданного значения относительной деформацией kεfl, можем определить значения отношений изгибающих моментов. С помощью полученных таким образом точек можно построить кривую их взаимодействия.
Граница между случаями, когда стенки находятся в упругом и пластическом состояниях, определяется условием u=а. Подставляя u вместо а в уравнение (2.40), получим граничное значение
Элемент, подверженный чистому изгибу

Если параметр u/(b/2) меньше, чем это значение, то стенка находится в упругом состоянии, если больше - то в пластическом.
Кривые взаимодействия изгибающих моментов Mε,x и Мε,y для сечений с геометрическим параметром p=1,0 для k от 1,0 (упругое состояние) до ∞ (пластический шарнир) приведены на рис. 2.12.
Элемент, подверженный чистому изгибу

Им соответствуют наибольшие относительные деформации крайнего волокна пояса ε=kεfl, меньшие или равные относительной деформации в начале упрочнения стали при растяжении.
Зависимости между изгибающими моментами в пластическом состоянии. Пластическое состояние соответствует распределению напряжений, показанному на рис. 2.11, d. Определим предельные изгибающие моменты Mpl,x и Мpl,у и установим влияние принятого распределения напряжений на кривые взаимодействия по сравнению с распределением конечных деформаций в упруго пластическом состоянии.
Из условия равновесия изгибающих моментов получим
Элемент, подверженный чистому изгибу

Первые части этих уравнений, выражающие предельные изгибающие моменты Mpl,x и Мpl,у с учетом параметра p можно записать в виде
Элемент, подверженный чистому изгибу

Полученные уравнения являются частными случаями уравнений (2.42) и (2.43) при k=∞.
Вычисляя параметр u/(b/2) из первого уравнения (2.48) и подставляя его во второе, получим выражение для предельной кривой взаимодействия изгибающих моментов
Элемент, подверженный чистому изгибу

Графики этих кривых для разных значений р приведены на рис. 2.13.
Оценку влияния принятого распределения напряжений, показанного на рис. 2.11, d, на кривые взаимодействия изгибающих моментов Мpl,x и Mpl,y выполним путем сравнения кривой для p=1,0, приведенной на рис. 2.13 и справедливой при k=∞, с кривыми, показанными на рис. 2.12. При k=10,20 и ∞ кривые взаимодействия очень близко расположены одна к другой, а для двух последних значений k они практически сливаются. На этом основании можно сделать вывод, что, если за предельное пластическое состояние сечения принять достижение относительной деформации (10-20) которая соответствует относительной деформации в начале упрочнения наиболее часто применяемых сталей, то для кривой взаимодействия изгибающих моментов с достаточной точностью можно принимать уравнение (2.49), строго справедливое при k=∞.
Элемент, подверженный чистому изгибу

Подбор сечений, согласно ЧСН 73 1401, при чистом изгибе. Расчеты, согласно нормам ЧСН 73 1401/1966 "Проектирование стальных конструкций" впервые выполнялись на основе метода предельных состояний. При изгибе в одной из главных плоскостей предельный изгибающий момент определялся по формуле
Элемент, подверженный чистому изгибу

При этом для сечений, в которых изгибающий момент от расчетной нагрузки равен M, должно выполняться условие
Элемент, подверженный чистому изгибу

Для предотвращения чрезмерных прогибов нормы ограничивали значение пластического момента сопротивления сечения. При этом в расчетах допускалось принимать наибольшее его значение, которое не должно было превышать 1,2 упругого момента сопротивления сечения. При наличии области чистого изгиба на длине, составляющей более 1/5 пролета балки, нормы требовали принимать среднее значение упругого и пластического моментов сопротивлений, однако не более 1,1W.
В пересмотренных нормах ЧСН 73 1401/1976 пластические расчеты существенно усовершенствованы и дополнены. Новые нормы, так же как и старые, требуют проверки только несущей способности конструкций. Чтобы исключить чрезмерные деформации, в нормах введен коэффициент условий работы m=0,95, что снижает вероятность достижения предельного состояния конструкций.
В новых нормах, как и в старых, пластический изгибающий момент определяется из зависимости (2.50). Условие несущей способности сечения при изгибе в одной из главных плоскостей имеет вид
Элемент, подверженный чистому изгибу

Пластический момент сопротивления Z должен составлять не более 1,5 упругого момента сопротивления сечения W. Если элемент конструкции подвержен действию чистого изгиба на длине балки, составляющей более 1/5 ее пролета, то пластический момент сопротивления сечения не должен превышать 0,5 (Z+W).
Следует отметить, что требование, ограничивающее значение пластического момента сопротивления, может не выполняться, если будет доказано, что пластические деформации не нарушают работу конструкций. В этом случае нормы допускают выполнение более детального расчета.
Для неоднородного двутаврового сечения предельный пластический изгибающий момент относительно оси X определяется по формуле
Элемент, подверженный чистому изгибу

Уравнение (2.53) применяется при условии
Элемент, подверженный чистому изгибу

В противном случае в уравнении (2.52) необходимо принять
Элемент, подверженный чистому изгибу

Значение предельного изгибающего момента для неоднородного двутаврового сечения относительно оси У принимается таким же, как значение для однородного сечения, т.е.
Элемент, подверженный чистому изгибу

При вычислении пластического момента сопротивления Zy площадь стенки не учитывается.
Практические расчеты при изгибе в двух главных плоскостях в соответствии с уравнением (2.49) достаточно сложны, в связи с чем в наших и зарубежных нормах для кривых взаимодействия изгибающих моментов используются приближенные формулы. Три таких уравнения показаны на рис. 2.13 штрихпунктирными линиями.
Наши нормы применяют линейную зависимость вида
Элемент, подверженный чистому изгибу

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: