Ранее рассматривались в основном характеристики материалов и возможности возникновения пластических деформаций. При этом только в самых необходимых случаях упоминались нагрузки и усилия.
Поскольку пластические деформации в макроскопическом представлении появляются при достижении материалом предела текучести, возникает вопрос, как это свойство материала соотнести с напряжениями от разных видов усилий и нагрузок?
Для простых видов усилий при одноосном напряженном состоянии ответ на этот вопрос уже получен; в данном случае условием пластичности является равенство
Для сложных напряженных состояний рассмотрим этот вопрос более подробно. Для углубленного изучения можно рекомендовать специальную литературу по теории пластичности.
Напряжения и деформации. Напряжения и деформации появляются в результате действия на конструкции нагрузок или иных воздействий. Приведем основные соотношения для напряжений и относительных деформаций при объемном напряженном состоянии.
Напряженное состояние в точке характеризуется симметричным тензором напряжений, отнесенным к главным осям:
Введем понятие среднего напряжения
С учетом выражения (1.3) тензор напряжений можно разложить на два тензора вида
Первый из них Kσ, называется шаровым тензором напряжений, другой, Dσ, является девиатором напряжений.
При действии составляющих шарового тензора происходит изменение только объема тела; при действии составляющих девиатора напряжений — только изменение формы тела.
Деформация в точке тела характеризуется тензором деформаций, отнесенным к главным осям:
Введя понятие средней деформации εs=(ε1+ε2+ε3)/3, можно разложить тензор деформации на два тензора вида
Шаровой тензор деформаций определяет изменение объема тела, а девиатор деформаций — изменение его формы. Полное изменение состояния тела характеризуется их суммой.
Относительное изменение объема тела (V0=1) с точностью до малых величин высшего порядка выражается формулой
Главные относительные деформации выражаются через главные напряжения с помощью обобщенного закона Гука
При подстановке в формулу (1.7) главных относительных деформаций из формул (1.8) получаем
Принимая во внимание экспериментальные данные, показывающие, что при возникновении пластических деформаций объем не изменяется, получим ΔV/V0=0. Поскольку напряжения и модуль упругости не равны нулю, для пластического состояния, согласно выражению (1.9), имеем
Коэффициент Пуассона для стали в упругом состоянии, когда ΔV/V0≥0, принимается равным 0,3.
Потенциальная энергия. Потенциальной энергией называется энергия, накопленная в материале вследствие деформаций, которые возникают от действия внешних сил.
В общем виде потенциальная энергия определяется по формуле
Поскольку последние два слагаемых равны нулю, в результате получим
Полупроизведение шаровых тензоров напряжений и деформаций представляет потенциальную энергию Av изменения объема тела, а полупроизведение девиаторов напряжений и деформаций — Потенциальную энергию AТ изменения формы тела. Величины Av и АТ могут быть выражены через напряжения в следующем виде:
Если изменение объема тела равно нулю и, согласно выражению (1.10), μ=0,5, то соответствующая потенциальная энергия Av тоже равна нулю. Тогда потенциальная энергия изменения формы тела выражается формулой
Кинематическая энергия, связанная со скоростью движущегося тела, в настоящей книге не рассматривается.
Условия пластичности. Предел текучести σfi, который принимается за критерий появления пластических деформаций, согласно ЧСН 42 0310, определяется испытанием стали на одноосное растяжение. Возникает вопрос, какие критерии необходимо принять при сложном напряженном состоянии, в связи с чем требуется установить, при каких комбинациях напряжений появляются пластические деформации.
Ответ на этот вопрос дают нам несколько теорий. Остановимся только на двух из них, которые, как показывают эксперименты, более всего подходят для стальных конструкций.
Условие наибольших касательных напряжений. Пластические деформации в поликристаллическом материале проявляются в виде сдвига, т.е. в результате перемещений дислокаций. Это значит, что они зависят от касательных напряжений. В этом случае условие пластичности выражается через наибольшие касательные напряжения, в качестве которых может быть одна из величин, определяемых по формулам
Условием пластичности является равенство
Определим его для случая, когда σ2=σ3=0 и σ1=σfi. При этом получим тfi=σfi/2.
Если выполняются неравенства σ1≥σ2≥σ3, то условие пластичности принимает вид
В этом случае главное напряжение σ2 не влияет на появление пластических деформаций.
При плоском напряженном состоянии, когда σ3=0, максимальные касательные напряжения определяются из разности главных напряжений σ1-σ2. С учетом напряжений, действующих по любым ортогональным площадкам, получим
В стальных конструкциях часто наблюдается случай такого плоского напряженного состояния, при котором и нормальное напряжение σy=0. При этом условие пластичности получит вид
Разности главных напряжений (1.16) в системе координат σ1, σ2, σ3 можно изобразить в виде правильной шестигранной призмы неограниченной длины. Условие пластичности (1.17) имеет место только в случаях, когда главные напряжения имеют разные знаки. Если напряжения одного знака, то это условие приобретает вид
При выполнении условия (1.20) главные напряжения имеют разные знаки.
Теория, основанная на критерии наибольших касательных напряжений, называется теорией Сен-Венана — Треска.
Условие потенциальной энергии изменения формы тела. В связи с тем, что сдвиги вызывают изменение формы тела, за критерий пластических деформаций можно принимать потенциальную энергию, которая накапливается от этого изменения:
При одноосном напряженном состоянии A=σfi εfi/2 = σfi2(2E). Учитывая зависимость (1.15), условие пластичности получим в виде
Графическое изображение уравнения (1.23) в системе координат σ1, σ2, σ3 представляет собой эллипсоид.
Условие пластичности при σ3=0 имеет вид
С учетом напряжений, действующих по любым площадкам, получим
Для плоского напряженного состояния, при котором и нормальные напряжения σy=0, условие пластичности будет иметь вид
Эта теория по имени авторов называется теорией Губера-Мизеса-Генки.
Левые части уравнений (1.23)-(1.26) назовем приведенными напряжениями и обозначим σsr.
Предел текучести σfi в правых частях этих уравнений является случайной переменной величиной. Вместо нее в практических расчетах принимается установленное, статистическим методом расчетное сопротивление R. Изложенная теория принята в нормах ЧСН 73 1401 для практических расчетов. В этом случае сокращенная формула условия пластичности имеет вид
Экспериментальная проверка условий пластичности. Приведем результаты для плоского напряженного состояния, которые изложены в работах.
Условие наибольших касательных напряжений с учетом выражения (1.21) для плоского напряженного состояния (σ3=0) можно графически изобразить прямыми, а условие потенциальной энергии изменения формы тела в виде эллипса (рис. 1.7). Все результаты достаточно хорошо соответствуют второму условию пластичности, поэтому оно принято в большинстве норм по расчету стальных конструкций, включая и нормы ЧСН 73 1401.