Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Грунтовые основания
Опорные сооружения





















Яндекс.Метрика

Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Общая характеристика работы балок. В предварительно напряженных балках, так же как и в обычных, в отдельных случаях может быть допущено развитие пластических деформаций, но только в самой балке, где они развиваются постепенно. Затяжка должна работать упруго до расчетного предельного состояния, так как текучесть затяжки, мгновенно наступающая по всему сечению, приводит к слишком быстрому развитию деформаций (прогибов) балки.
Развитие пластических деформаций в предварительно напряженных балках может быть достигнуто в одной из двух стадий работы балок: в стадии действия расчетных нагрузок и в стадии создания предварительного напряжения (до приложения расчетных нагрузок).
На рис. 14 и 15 показаны эпюры напряжений в балке на отдельных этапах ее работы для рассматриваемых случаев.
При использовании развития пластических деформаций в стадии эксплуатации первый этап работы — предварительное напряжение — дает треугольную эпюру напряжений с максимальной ординатой, равной расчетному сопротивлению на уровне крайних волокон нижнего пояса. В затяжке действует усилие предварительного напряжения (рис. 14, б). Во втором этапе работы при действии расчетной нагрузки эпюра от нагрузки накладывается на эпюру от предварительного напряжения, пока в одном из крайних волокон балки напряжения не достигнут предела текучести (рис. 14, в). В затяжке действуют усилия предварительного напряжения и самонапряжения. Третий этап — упруго-пластическая работа при увеличении нагрузки — начинается с постепенного проникновения текучести в глубь сечения до образования в сечении балки пластического шарнира (рис. 14, г). Усилие самонапряжения на этом этапе увеличивается интенсивнее, чем на втором.
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Образование пластического шарнира следует считать пределом несущей способности конструкции, и оно должно совпадать с достижением напряжениями в затяжке предела текучести (по принятой методике расчета — расчетного сопротивления). Если напряжение в затяжке не достигло расчетного сопротивления, то появление пластического шарнира еще не означает исчерпания несущей способности балки. Внешняя нагрузка и изгибающий момент могут еще расти за счет увеличения высоты сжатой зоны балки и растягивающего усилия в затяжке до распространения сжатия, уравновешиваемого усилием в затяжке, почти по всему или, в пределе, по всему сечению (рис. 14, д).
Образование шарнира пластичности в конце третьего этапа работы в предварительно напряженных балках в отличие от обычных разрезных балок теоретически не приводит к потере балкой неизменяемости, она лишь превращается в статически определимую систему. В конце четвертого этапа работы, когда в балке при расположении затяжки вне пределов ее высоты возникает однозначная эпюра сжимающих напряжений, балка теоретически превращается в изменяемую систему. Однако, как показали испытания балок, реализовать этот четвертый этап работы балки практически очень трудно, так как вслед за появлением шарнира пластичности деформации балки резко возрастают, и сжатые элементы балки теряют устойчивость.
При использовании пластических деформаций в стадии предварительного напряжения за первый этап работы можно считать, так же как и в предыдущем случае, стадию упругой работы балки — от начала создания предварительного напряжения до появления текучести в нижнем поясе.
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

На втором этапе балка работает в упруго-пластической стадии до развития пластических деформаций на части сечения (рис. 15, б). Высота пластической зоны γh определяется рациональностью использования сечения, устойчивостью и прогибами балки в процессе предварительного напряжения. На третьем этапе балка работает на внешнюю нагрузку. Здесь на эпюру предварительного напряжения накладывается треугольная эпюра от нагрузки вплоть до одновременного достижения напряжениями в верхних и нижних волокнах балки, а также в затяжке предела текучести (рис. 15, в).
При достижении напряжениями в крайних волокнах балки предела текучести несущая способность балки не исчерпывается, так как при дальнейшем увеличении нагрузки будут развиваться пластические деформации в глубь сечения (рис. 15,г). Однако вследствие эффекта Баушингера повторные пластические деформации в противоположных направлениях нежелательны.
На третьем этапе балка работает упруго, однако окончательная эпюра имеет перегиб на уровне верхней кромки развития пластических деформаций.
Треугольник эпюры напряжений, отделенный пунктирной линией на рис. 15, в, дает совместно с дополнительным усилием в затяжке добавочный момент внутренних сил, увеличивающий несущую способность балки по сравнению с работой в упругой стадии.
Каждый из рассматриваемых двух случаев имеет свои достоинства и недостатки и может быть применен в зависимости от условий работы балки и производства работ по предварительному напряжению.
В первом случае балка в стадии предварительного напряжения работает упруго и, следовательно, ее исходное напряженное состояние является более четким. Предварительное напряжение легче осуществить: величина его усилия получается меньше, чем во втором случае, и даже примерно на 10% меньше, чем при расчете балок по упругой стадии. Окончательное усилие в затяжке меньше и, следовательно, на нее меньше требуется более дорогого материала. Проще анкеровка затяжки, меньше местные напряжения около нее. В стадии действия расчетных нагрузок в этом случае в сечении с наибольшим значением изгибающего момента появляется шарнир пластичности, т. е. допускается развитие пластических деформации па всю высоту сечения, но лишь па ограниченном участке длины балки. Недостатком первого случая учета развития пластических деформации является более сложный расчет балки на прочность и деформативность при действии эксплуатационных нагрузок как статически неопределимой системы, работающей в упруго-пластической стадии.
При обычно компонуемых сечениях балок повторные загружения приводят к нарастанию пластических деформаций, и поэтому не могут быть допущены. Однако если сечение подобрано так, что центр шарнира пластичности совпадает с центром тяжести сечения, то при повторных загружениях балка будет работать упруго. Основным достоинством второго случая является то обстоятельство, что при действии расчетных нагрузок пластические деформации снимаются, и балка в условиях эксплуатации работает упруго. Это может оказаться важным для балок, работающих на повторные или подвижные нагрузки (например, подкрановые балки).
Сохранение упругого ядра, способного воспринимать поперечную силу, по всей высоте сечения балки под действием вертикальных нагрузок имеет еще и то преимущество, что в этом случае снимаются обычные ограничения по развитию пластических деформаций при действии вертикальных эксплуатационных нагрузок.
В упруго-пластической стадии балки работают как внецентренно сжатые стержни при односторонней текучести, что позволяет рассчитать их в этой стадии работы достаточно точно. Однако в этом случае исходное напряженное состояние все же будет нечетким, так как действительный предел текучести не совпадает с расчетным и неизвестен проектировщику.
Если действительный предел текучести окажется значительно выше расчетного, что часто имеет место, эпюра напряжений от предварительного напряжения будет изменяться по линейному закону, и в верхней полке растягивающие напряжения окажутся меньше предполагаемых. Это может привести к развитию в верхней полке балки под нагрузкой пластических деформаций сжатия, не учитываемых расчетом, и потому особенно опасных с точки зрения устойчивости пояса и стенки. Пластические деформации развиваются не в отдельном сечении балки, а на всем протяжении длины затяжки, что приводит к значительным выгибам балки от предварительного напряжения и даже может ограничить его величину.
Создание большего усилия в затяжке связано с некоторыми конструктивными и производственными трудностями — требуется более мощное натяжное оборудование. Вытяжка затяжек должна производиться не на самих балках, а па специальном стенде. В процессе предварительного напряжения балка может потерять местную и общую устойчивость, если ее элементы не будут достаточно жестки или не будет обеспечена необходимая связь нижнего пояса с затяжкой.
По получаемому экономическому эффекту оба способа использования пластических деформаций примерно одинаковы, хотя точных данных пока нет. По предварительным данным, учет развития пластических деформаций в предварительно напряженных балках позволяет повысить их несущую способность на 15—20% и получить экономию стали до 10%.
В тех случаях, когда высота или размеры сечения балки определяются требованиями жесткости, развитие пластических деформаций не может быть допущено. Пластические деформации распространяются и на стенку балки и снижают ее устойчивость, что должно быть дополнительно учтено при конструировании.
Учет развития пластических деформаций в предварительно напряженных балках, так же как и в обычных, ограничивается величиной скалывающих напряжений.
Сечение балок принимается, как и при расчете по упругой стадии, несимметричное. Однако в случае учета пластических деформаций отступления от оптимальных геометрических парам мало сказываются на несущей способности сечения.
Проверку местной устойчивости элементов балки в упругопластической стадии работы можно выполнять в предположении упругой работы стали по формулам НиТУ проектирования стальных конструкций, однако коэффициент условий работы при этой проверке для зоны развития пластических деформаций следует принимать равным m=0,8.
Вопрос обеспечения местной устойчивости пластинок в упруго-пластической стадии работы недостаточно изучен. Имеющиеся по этому вопросу предложения изложены ниже.
Рекомендуется считать стенку в этих условиях устойчивой, если отношение ее высоты к толщине не превосходит величины hст/δст ≤ 80√2,1/R, где R — расчетное сопротивление стали. В обычных балках такое соотношение трудно выдержать, оно приводит к неэкономичному сечению, поэтому для укрепления стенки приходится ставить горизонтальные ребра жесткости.
Устойчивость полок балок при переходе их в пластическую стадию работы может считаться обеспеченной, если отношение ширины полки к толщине bп/δп ≤ 20.
Можно отметить, что прогибы балки при развитии пластических деформаций (в первом случае) нарастают медленнее, чем в обычной балке, благодаря сдерживающему влиянию упруго работающей затяжки.
Работа балок при развитии пластических деформаций под нагрузкой апробирована на экспериментальных балках. Полученные результаты подтвердили возможность принимать за расчетное предельное состояние по прочности появление шарнира пластичности.
Расчет балок при развитии пластических деформаций в стадии загружения. Простая методика расчета получается, если при выводе расчетных формул не учитывать усилия самонапряжения. При этом, как показывает анализ, получается занижение несущей способности балок от 4 до 16%. Поэтому формулы, получаемые из расчета без учета самонапряжения, могут быть использованы лишь для предварительного подбора сечений.
На рис. 14, г показана эпюра напряжений при появлении пластического шарнира. Предел текучести заменяем расчетным сопротивлением стали. Усилие в затяжке в предельном состоянии приближенно принимаем равным X (усилию предварительного напряжения).
Считаем, что центр тяжести затяжки совпадает с центром тяжести нижнего пояса балки. Выразим величину силы предварительного напряжения X из уравнения равновесия напряжений в сечении в стадии создания предварительного напряжения:
- уравнение проекции внутренних сил на горизонтальную ось
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

- уравнение моментов внутренних сил относительно нижней грани балки
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Из уравнения (37) получаем значение α
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

и, подставив его в уравнение (36), определяем X
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Подставляя сюда значения геометрических характеристик двутавра, выраженные через безразмерные параметры (8), получим
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Уравнение проекции внутренних сил на горизонтальную ось для сечения с шарниром пластичности будет
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

и изгибающих моментов относительно нижней грани балки
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Подставляя в уравнение (41) значение X (40) и геометрических характеристик из формул (8), получаем
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Из выражения (43), принимая γ=0,5 [ось шарнира пластичности совпадает с половиной высоты стенки], получаем значение m:
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Подставляя в уравнение (42) значение m (44), γ=0,5 и геометрические характеристики, получим из него формулу для изгибающего момента
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Чтобы получить для рассматриваемого случая оптимальную величину асимметрии сечения, приравниваем нулю первую производную изгибающего момента по значению асимметрии
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Отсюда A = 1,64.
Подставляя значение A в уравнения (44), (45), (40) и (38), получим необходимые для расчета величины:
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Практический расчет балок по данной методике производится в следующей последовательности: зная расчетный изгибающий момент М, расчетное сопротивление R и задаваясь величиной К, получаем из формул (46) и (111.8) все необходимые геометрические характеристики сечения.
Рациональность подобранного сечения проверяется по формулам (36), (37). При проверке в формулу (36) вместо X подставляется Х+Х1 (учитывается самонапряжение).
Если проверка не дает удовлетворительных результатов, то нужно внести соответствующие изменения в сечение и вновь сделать проверку.
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Более точная методика расчета балок с учетом упруго-пластической работы в стадии нагружения разработана Н. Н. Стрелецким. Здесь расчет ведется с учетом усилия самонапряжения в затяжке, и сечения получаются более экономные. Однако эта методика сложнее, основана на методе повторных попыток, так как надо предварительно задаваться сечением балки и величиной усилия предварительного напряжения. При проектировании эту величину в первом приближении можно определить по формулам для F и X (46), полученным по изложенной выше методике расчета.
За расчетное предельное состояние по прочности принято напряженное состояние в сечении, отвечающее предельному равновесию, при котором в сечении балки появляется шарнир пластичности, и одновременно напряжение в затяжке достигает величины расчетного сопротивления.
Вводим следующие, в дополнение к принятым, обозначения, характеризующие сечение и его напряженное состояние (рис. 16):
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Знак минус принимается, если шпренгель расположен в пределах высоты стенки, знак плюс — при выносном шпренгеле. Для си и Fн*с введены следующие обозначения:
Kм = F3R3/FR — характеристика прочности материалов и площади сечений балки и затяжки;
n2— коэффициент перегрузки усилия предварительного напряжения.
Формула для изгибающего момента, воспринимаемого сечением в расчетном предельном равновесии, может быть получена из двух уравнении равновесия сечения:
- равенства нулю проекции всех сил на горизонтальную ось
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

- равенства нулю момента всех сил относительно центра тяжести затяжки
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Решая совместно уравнения, получаем величину предельного изгибающего момента, воспринимаемого сечением,
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Предельное усилие в затяжке складывается из усилия предварительного напряжения X, усилия самонапряжения X1, возникающего при работе балки под нагрузкой в упругой стадии, и усилия самонапряжения X2, возникающего при работе балки под нагрузкой в упруго-пластической стадии.
Как уже указывалось, усилием X задаемся. Усилие X в первом приближении можно принять на 10% меньше максимально допустимого усилия, исходя из устойчивости нижнего пояса балки,
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

или же использовать формулу для X из выражения (46). В дальнейшем его надо откорректировать в соответствии с получаемыми X1 и X2.
Усилие Х1 может быть получено по обычным формулам, если известно значение изгибающего момента, при котором достигается фибровая текучесть.
Н.Н. Стрелецкий предлагает следующую методику определения усилий Х1 и X2:
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

где Мф —момент в балке при достижении фибровой текучести, определяемый по формуле
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

где Zy = —Mp δ11/Δ1р — плечо приращения усилия в затяжке в упругой стадии работы, равное расстоянию от затяжки до равнодействующей напряжений в сечении балки от момента внешних сил;
ρ = W/P — ядровое расстояние, принимаемое со знаком минус для верхней фибры;
W — момент сопротивления двутавра для крайней фибры, в которой раньше начнется текучесть;
Mg — изгибающий момент, воспринимаемый балкой до предварительного напряжения. Для равномерно распределенной нагрузки
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Перемещения в основной системе δ11 от силы X=1 и от нагрузки определяются обычным путем.
Изгибающий момент от расчетной нагрузки Mp вычислять не надо, так как он входит множителем в значение Δ1р и сокращается.
Точное определение усилия самонапряжения X2 весьма трудоемко, так как оно возникает в статически неопределимой системе с переменными деформативными свойствами, т. е. закон его изменения нелинейный.
На основе анализа экспериментальных и теоретических данных рекомендуется определять X2 по приближенной формуле
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

где Mш — изгибающий момент в балке при появлении шарнира пластичности;
zш = Fн.с/δст ± сн.п — расстояние от нейтральной оси до затяжки при появлении в двутавре шарнира пластичности; знак минус принимается при размещении затяжки в пределах высоты балки, знак плюс — при размещении затяжки ниже нижнего пояса.
Для того чтобы предупредить прогрессирующее развитие в балке пластических деформаций от переменного загружения и снятия временной нагрузки, балка при снятии временной нагрузки должна работать упруго.
Проверка выполнения условия упругой работы балки при снятии временной нагрузки производится по формуле
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

где Мвр — расчетный изгибающий момент от временной нагрузки;
φ — коэффициент местного продольного изгиба для нижнего пояса из плоскости балки;
ρ — ядровое расстояние.
Практически проверка прочности балки по изложенной методике сводится к следующим операциям.
Зная расчетный изгибающий момент M и физические характеристики материала, нужно задаться сечением балки, используя формулы предыдущей методики, и определить его характеристики необходимые для расчета.
По формуле (49) определяется величина предельного момента, воспринимаемого сечением. Если расхождение между предельным моментом и заданным получается существенным, надо откорректировать сечение и вновь сделать проверку. Далее, задаваясь величиной усилия предварительного напряжения Х, по формулам (50) и (52) нужно вычислить значения усилий самонапряжения Х1 и Х2.
Производится проверка правильности заданного усилия Х пo формуле
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Если результат проверки расходится с заданной величиной усилия Х, нужно вновь определить значения Х1 и Х2, используя новое значение Х, полученное по формуле (54).
Сновa производится проверка правильности принятого усилия Х и при этом, если нужно, вносится в его значение третье уточнение. Обычно третье уточнение дает удовлетворительные результаты. По формуле (53) проверяется удовлетворение критерия упругой разгрузки балки от временной нагрузки.
Длина затяжки и место закрепления ее к балке определяются обычным способом.
Расчет балок при развитии пластических деформаций в стадии предварительного напряжения. Здесь, так же как и для предыдущего случая, имеются две методики расчета. Более простая методика, по которой формулы для подбора сечений получены без учета усилия самонапряжения в затяжке, позволяет очень быстро подобрать сечения. Более точная методика, но и более сложная, требует при подборе сечений метода повторных попыток.
Можно, как и в предыдущем случае, использовать для подбора сечений в первом приближении первую методику и затем откорректировать сечение с помощью второй.
По первой методике из уравнений равновесия внутренних сил в стадии предварительного напряжения:
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

полученных из эпюры напряжений при предварительном напряжении балки, определяется величина усилия предварительного напряжения
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

При выводе формулы (57) из уравнения (56) получено значение коэффициента α:
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

которое подставлено в уравнение (55). Кроме того, использованы геометрические характеристики (8).
Чтобы получить значения предельного изгибающего момента, составляются уравнения равновесия для напряженного состояния сечения в расчетном предельном состоянии
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Подставляя в (59) величину X из равенства (57) и используя геометрические характеристики из формул (8), получим
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Теперь из уравнения (60) получаем значение предельного момента, используя (58) и (8),
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Из этого уравнения можно получить оптимальные значения величины асимметрии сечения А для заданных значений γ — глубины проникания пластических деформаций при предварительном напряжении.
В табл. 6 приведены оптимальные значения величины А и соответствующие ей значения моментов для различных γ.
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Из таблицы видно, что наивыгоднейшим сечением является симметричный двутавр А=1 при γ=0,5—глубине распространения пластических деформаций на половину высоты сечения.
Можно показать, что γ=0,5 является вместе с тем и предельным возможным значением развития пластических деформаций при заданных условиях, так как при больших γ в верхнем поясе балки также возникнут пластические деформации.
Исходя из полученных результатов, для подбора сечения балки можно рекомендовать следующие формулы:
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Использовать полученные формулы для компоновки сечения можно лишь с коррективами, учитывая, что получены они без учета самонапряжения и при A=1.
Сечение следует компоновать несимметричным, принимая площадь примерно на 15% меньше площади, получаемой по формуле (63). Усилие предварительного напряжения для несимметричного сечения получается меньше на 40—50%.
Подобранное сечение проверяется с учетом усилия самонапряжения по уравнениям (55), (56). При неудовлетворительных результатах проверки вносятся поправки в сечение.
Расчет с учетом сил самонапряжения разработан А.В. Геммерлингом, который первым предложил учитывать пластические деформации в стадии предварительного напряжения. Эта методика расчета является более сложной, так как здесь необходимо задаться сечением балки и затем проверять его несущую способность.
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Сначала определяется усилие предварительного напряжения, вызывающее развитие пластических деформаций в стенке балки на заданную глубину.
Заменяя предел текучести расчетным сопротивлением, можно уравнения равновесия внутренних сил в стадии предварительного напряжения записать в следующем виде (рис. 17):
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Из (64) получаем
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Подставляя (66) в (65) и делая соответствующие преобразования, получаем
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

или усилие предварительного напряжения
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Из (66) получаем напряжения в верхней полке балки
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

и из подобия треугольников на рис. 17 фиктивное напряжение в нижней полке
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Подставляя в уравнение (70) значение Р, можно получить относительную глубину пластической зоны сечения γ, при которой полные напряжения от расчетной нагрузки в обоих поясах балки и в затяжке равны расчетным сопротивлениям
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

При действии нагрузки учитывают работу балки только в упругой стадии.
Следовательно, величину самонапряжения X1 можно найти по обычным формулам, решая статически неопределимую систему.
Прочность балки проверяется исходя из условия, что напряжения в верхней и нижней кромках не превышают расчетного сопротивления (рис. 17, в):
- для верхней полки
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

- для нижней полки
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

Если напряжение σ1 в верхнем поясе балки от предварительного напряжения растягивающее, то в формулу (73) оно подставляется со знаком минус.
В правильно подобранном сечении напряжения в верхней и нижней кромках одновременно достигают расчетного сопротивления.
Практически расчет можно производить в следующем порядке.
Компонуется сечение исходя из приближенных формул (63) и (8) или на основе каких-либо других данных, и определяется обычным способом усилие самонапряжения Х1. Зная величину усилия самонапряжения и заданную площадь затяжки, можно, задавшись γ, определить параметры р и Н, и затем из формулы (68) напряжение σх.
Если не поставлены строгие требования в отношении жесткости балки, то можно задаться γ=0,5.
По формулам (69) или
Расчет балок с учетом развития пластических деформаций

вычисляется фибровое напряжение в верхней полке балки.
Окончательным этапом расчета является проверка по формулам (73) прочности балки.
Если результаты проверки не удовлетворяют, то надо внести в сечение коррективы и произвести проверку вновь.
По напряжению σх определяется усилие предварительного напряжения X=σхF, которое не должно быть больше разности полного усилия в затяжке и усилия самонапряжения
n1X ≤ F3R3 - X1.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: