ГлавнаяРассмотрим однопролетную балку постоянного несимметричного сечения по длине с прямолинейной затяжкой, расположенной на уровне нижнего пояса в средней части пролета.
Основные геометрические характеристики сечения показаны на рис. 12.
Примем приближенно, что центр тяжести площади затяжки (F ) расположен на уровне центра тяжести нижнего пояса и что высота стенки равна высоте балки hc = hб = h1 + h2. Введем дополнительно следующие безразмерные параметры: величину, характеризующую асимметрию двутавра,
где W1 и W2 — моменты сопротивления двутавра относительно оси х—х для верхней и нижней граней сечения; величину, характеризующую гибкость стенки,
и величину, характеризующую распределение материала в сечении,
m = Fст/F,
где F = F1+F2+Fст — полная площадь двутавра.
Теперь можно все геометрические характеристики двутавра выразить через полную площадь двутавра и безразмерные характеристики A, k и m:
Влияние самонапряжения на оптимальные параметры. Оптимальными параметрами балки будем считать такие, при которых балка может воспринимать наибольший изгибающий момент. Площадь сечения балки считаем заданной.
Напряженное состояние балки при оптимальных параметрах должно удовлетворять равенствам:
Уравнения (9)—(10) устанавливают, что при действии изгибающего момента от внешней нагрузки М, усилия в затяжке от предварительного напряжения X и самонапряжения X1 напряжения в верхних и нижних волокнах будут равны расчетному сопротивлению R.
Уравнением (11) устанавливается дополнительное требование, что напряжения в нижних волокнах балки при предварительном напряжении также равны расчетному сопротивлению. Назовем условия, записанные уравнениями (9), (10) и (11), оптимальным напряженным состоянием. В. М. Baxypкиным показано, что оптимальные параметры балки могут быть получены лишь при соблюдении всех трех условий.
Введем в уравнения (9)—(11) параметр β, назвав его коэффициентом самонапряжения,
где n1 и n2 — коэффициенты перегрузки для усилия предварительного напряжения.
На данном этапе анализа примем их равными единице. Тогда уравнения (9) — (11) примут вид:
Решаем равенства (9') — (11') относительно расчетных изгибающих моментов М, предварительно исключив из них величину X, используя равенство (11'), и заменяем геометрические характеристики безразмерными параметрами (8).
Из равенства (9') получим
Из равенства (10')
Приравнивая правые части уравнений (13) и (14), получим зависимость между А, m и β для оптимального напряженного состояния
Отсюда можно получить параметр m, выраженный через А и β,
а также параметр А, выраженный через m и β,
Если подставить m из (16) в уравнение (13), то получатся выражения для расчетного изгибающего момента
и
где
Подставляя в выражение (13) или (14) различные значения р и А, можно получить оптимальные значения асимметрии сечения А при данном р, при которых величина С достигает своего максимума. Подставляя полученные оптимальные значения A и β в выражение (15), получаем соответствующее им оптимальное значение m. В табл. 3 приведены вычисленные таким образом величины А, m и С для заданных значений β.
Из таблицы видно, что оптимальные значения параметра m меняются в незначительных пределах от m=0,55 до m=0,567. Если принять m = 0,55 (при β=1) для всех значений A и β, то величина параметра С практически не изменяется (как это видно из табл. 4).
Как показывает анализ, принятие единого значения параметра m=0,55 дает погрешность в максимальной величине изгибающего момента менее 1 %. На оптимальную величину площади балки это допущение влияет еще меньше. Теперь, если подставить принятое значение m в выражение (17), можно получить выражение для оптимального значения асимметрии сечения А в функции одного лишь параметра β:
В табл. 4 приведены значения оптимальных парам А и соответствующих им С в зависимости от β (при m=0,55).
Таким образом, если известен коэффициент самонапряжения β, то можно, получив из табл. 4 значение С, задавшись гибкостью стенки К, вычислить по выражению (19) требуемую площадь сечения балки F. Далее, определив из табл. 4 или из уравнения (17) величину оптимального значения асимметрии сечения А, найдем все остальные параметры балки (8).
Значения расчетного изгибающего момента М и расчетного сопротивления R при этом, очевидно, являются известными.
Влияние различных случаев загружения на оптимальные параметры. Коэффициент самонапряжения β зависит от схемы загружения балки, физических парам материала балки и затяжки и геометрических парам балки и затяжки.
Рассмотрим три схемы загружения балки (рис. 13): чистый изгиб (а); равномерно распределенная нагрузка на всем пролете (б); сосредоточенная сила посередине пролета (в).
При первой схеме загружения величина самонапряжения будет наибольшей, при третьей — наименьшей.
Очевидно, любые другие схемы загружения дадут значение величины самонапряжения, промежуточное между какими-нибудь двумя из рассматриваемых схем.
Физические параметры материала балки и затяжки могут быть выражены величиной
Для принимаемых в предварительно напряженных стальных балках материалов диапазон изменения величины μ будет примерно от 0,40 до 0,1.
На величину усилия самонапряжения влияют все геометрические параметры балки, в том числе и длина затяжки lз.
В балке оптимального сечения с наименьшей затратой всех материалов затяжка должна быть закреплена там, где изгибающий момент может быть воспринят одним сечением балки без предварительного напряжения М/W2 = R.
Из уравнения (11'), используя подстановки из (8), получим усилие предварительного напряжения
Усилие самонапряжения X1 может быть получено в результате решения статически неопределимой системы с одним неизвестным.
Общее выражение усилия самонапряжения
Для рассматриваемых нами случаев загружения с прямолинейным напрягающим элементом на уровне нижнего пояса выражение для X1 может быть записано в более простом виде
Здесь ω — площадь эпюры изгибающего момента от нагрузки на участке длины затяжки; е = Ез/Е; M = 1*h2 — изгибающий момент от X=1 в затяжке.
Площадь затяжки Fз можно найти из рассмотрения равновесия эпюры напряжений в балке при действии на нее полной расчетной нагрузки.
Проектируя все силы на горизонтальную ось, получим
откуда
Подставляя сюда значения F1 и F2 из, получим
Площади эпюр изгибающих моментов ω для рассматриваемых трех случаев загружения будут иметь следующие значения:
для случая а
для случая б
и для случая в
Подставляя в выражение (24) значения ω для соответствующих схем загружения и выражая остальные параметры через значения F, А, К, m и μ, получим формулы усилия самонапряжения для всех трех случаев загружения:
а) для чистого изгиба
б) для равномерно распределенной нагрузки
в) для сосредоточенной силы
Теперь полученные значения X1 можно подставить в уравнения оптимального напряженного состояния (9) и (10) и решить их относительно М; получим формулы изгибающих моментов, выраженных через значения F, А, К, m и μ.
Для чистого изгиба значения изгибающих моментов имеют следующий вид:
- из равенства (9)
- из равенства (10)
Приравнивая значения изгибающих моментов из уравнений (29) и (30), получим выражение (31), устанавливающее взаимозависимость между величинами А и m, при которых в балке, работающей на чистый изгиб, будет оптимальное напряженное состояние
Тем же способом можно получить аналогичные выражения в случаях загружения балки равномерно распределенной нагрузкой и сосредоточенной силой.
Для равномерно распределенной нагрузки, используя выражение (27) и уравнения (9) и (10),
Для сосредоточенной нагрузки, используя выражение (28) и уравнения (9) и (10),
Если принять, как было показано выше, без больших погрешностей для точности результатов значение m=0,55, то из выражений (31), (32) и (33) можно получить оптимальные значения величины асимметрии сечения А при соответствующих значениях μ.
Значение А связано выражением (20) с наибольшей величиной показателя С, характеризующего рациональность сечения.
В табл. 5 приведены значения А и С, полученные указанным выше способом для рассмотрения трех случаев загружения. при соответствующих заданных значениях μ.
Значения A и С подсчитаны для различных значений коэффициентов перегрузки n1 и n2, рекомендуемых инструкцией. В таблице также даны формулы для определения теоретической длины затяжки.
Для случая чистого изгиба необходимо иметь затяжку по всей длине балки l3 = l.
При загружении балки равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой длина затяжки определяется из условия полного использования сечения балки в месте закрепления затяжки
Ma = W2R.
Для равномерно распределенной нагрузки имеем исходное уравнение
отсюда
или
Подставляя W2R вместо Ma и вместо M его значение из (18), производя соответствующие преобразования и подстановки, получим
Для сосредоточенной силы исходное уравнение
Производя соответствующие замены и преобразования, получаем
Если обозначить выражение в квадратных скобках в формуле (35) через α, то формулы (34) и (35) могут быть соответственно записаны
Подбор сечений стальных балок с однократным предварительным напряжением. Изложенный выше анализ и разработанная в результате его методика дают возможность подбирать оптимальные сечения предварительно напряженных балок не методом последовательного приближения, а путем однократных простейших вычислений. Это значительно упрощает проектирование и гарантирует от нерациональных решений.
Исходными данными для подбора сечений являются схема загружения балки и соответствующий ей расчетный изгибающий момент М, коэффициент μ = ЕзR/ERз, зависящий от характеристик, принятых для балки и затяжки материалов, и принимаемая проектировщиком величина гибкости стенки K = h/δст.
Из табл. 5 для данного вида загружения по вычисленному коэффициенту μ находятся величины А и С. Для промежуточных значений и схем загружения величины А и С можно принимать по интерполяции. Используя изложенную выше методику, можно произвести и более точный расчет, вычисляя значения Л и С для данного случая загружения. В большинстве случаев это дает незначительное уточнение.
По приведенным расчетным формулам (19), (25) и (8) определяются необходимые параметры сечения балки, которые будут оптимальными. Коэффициент m в этих формулах принимается равным 0,55.
Далее, исходя из полученных величин, компонуется сечение балки, определяются длина затяжки, требуемое усилие натяжения X по (22) и величина усилия самонапряжения X1 по (26)—(28).
Величину X можно вычислить как разность: n1X=F2R—Х1.
Для подобранного сечения балки производится проверка ее прочности по формулам (9)—(11) и прочности затяжки по формуле n1X + X1≤R3F3. Критерием рациональности подбора сечения будет равенство напряжений в верхнем и нижнем поясах от совместного действия предварительного напряжения и расчетной нагрузки расчетным сопротивлениям материала балки, а также равенство напряжения в нижнем поясе расчетному сопротивлению от действия только предварительного напряжения.
Необходимо также проверить прочность балки в месте теоретического обрыва затяжки. При конструировании анкерное крепление затяжки следует расположить на расстоянии примерно 0,5 м от места теоретического обрыва. Проверка прочности по скалывающим и приведенным напряжениям производится так же, как и в обычных балках.
В балках с затяжкой, расположенной по всей длине, необходима проверка при действии максимальной нагрузки, прочности и местной устойчивости нижнего пояса и стенки у опор, где действует сжимающее усилие затяжки, а напряжения обратного знака от нагрузки практически отсутствуют.
Существенным для предварительно напряженных балок является проверка местной устойчивости стенки. Наиболее экономичные сечения получаются при большей гибкости стенки. В диапазоне гибкости стенки от 80 до 120 разница в площадях поперечного сечения составляет около 13%.
Следовательно, надо стремиться проектировать балки с более гибкой стенкой. Однако гибкая стенка может потребовать большого количества ребер жесткости для обеспечения ее устойчивости, и конструкция балки окажется слишком сложной, а изготовление ее трудоемким. Надо учитывать, что с точки зрения потери местной устойчивости наиболее опасной может оказаться область стенки, примыкающая к затяжке (нижний пояс в однопролетных балках), так как в процессе предварительного напряжения здесь будет наиболее неблагоприятная эпюра нормальных напряжений. При стенках с гибкостью K=180 и более может потребоваться постановка горизонтального ребра жесткости в области стенки, сжатой в процессе предварительного напряжения.
В некоторых случаях полученное (при принятом значении К) оптимальное по расходу стали сечение может не удовлетворять требованиям жесткости или ограниченной по компоновочным условиям высоты. Если расхождения небольшие, то требуемое сечение может быть получено по изложенной методике за счет изменения параметра К. Увеличение К приводит к сечениям большей высоты и, следовательно, большей жесткости, уменьшение К дает сечения меньшей высоты.