Главная
Новости
Ремонт
Каркасный дом
Несущие конструкции
Металлические конструкции
Прочность дорог
Дорожные материалы
Стальные конструкции
Воздухоопорные сооружения
Грунтовые основания




14.12.2018


14.12.2018


14.12.2018


07.12.2018


07.12.2018


07.12.2018


07.12.2018


06.12.2018


05.12.2018


05.12.2018





Яндекс.Метрика
         » » Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

16.07.2014

Основы теории работы предварительно напряженного стержня на растяжение разработал Г. Маньель. Далее этот вопрос углубил В. М. Вахуркин. В настоящем параграфе этот вопрос получает дальнейшее развитие.
Основные закономерности, полученные при анализе работы растянутого стержня, в большей или меньшей степени присущи и изгибаемым элементам, и поэтому представляют значительный интерес.
Анализ работы предварительно напряженных элементов позволяет подбирать более рациональные решения при проектировании и понять особенности их работы. Схема рассматриваемого элемента показана на рис. 4. За предельное состояние элемента при растяжении принимаем момент достижения напряжениями в жестком стержне и затяжке величин, равных их расчетным сопротивлениям.
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Введем следующие обозначения:
F1 — сечение жесткого стержня;
F2 — сечение затяжки;
E1, R1 - модуль упругости и расчетное сопротивление затяжки, стержня;
E2, R2 — модуль упругости и расчетное сопротивление затяжки;
σ01 — величина расчетного предварительного напряжения в жестком стержне;
Pр — нагрузка, приложенная к стержню до предварительного напряжения или совместно с предварительным напряжением;
Pq — нагрузка, приложенная к стержню после создания предварительного напряжения;
X — усилие предварительного напряжения в затяжке;
Δx — приращение усилия в затяжке от нагрузки (самонапряжение);
Δl — удлинение стержня от нагрузки Pq,
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Основные уравнения, выражающие работу элемента, имеют следующий вид:
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Физический смысл первого уравнения: усилие предварительного напряжения в затяжке уравновешивает нагрузку Pp, приложенную до предварительного напряжения, и сжимающее усилие предварительного напряжения в жестком стержне. По уравнению (2) нагрузка, приложенная после предварительного напряжения, уравновешивается приращением усилия в затяжке Δх и приращением усилия в жестком стержне, равным его несущей способности плюс усилие предварительного напряжения. В уравнении (3) полное усилие в затяжке приравнивается ее несущей способности. Из уравнения (4) следует, что величина приращения усилия в затяжке от нагрузки, приложенной после предварительного напряжения, пропорциональна отношению площадей затяжки и всего элемента с поправкой на отношение модулей упругости материала затяжки и стержня. Уравнение (5) выражает зависимость удлинения стержня от нагрузки Pq, погашающей в нем напряжение сжатия σ01 и вызывающей предельное напряжение растяжения R1.
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Решая совместно эти уравнения, можно прежде всего получить формулы для определения требуемой площади сечений жесткого стержня и затяжки:
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Для подбора сечений по формулам (6) и (7) нужно знать величину нагрузки, механические характеристики материала и величину предварительного напряжения σ01.
Величиной предварительного напряжения (отношением σ01/R1), очевидно, необходимо задаться. Она должна быть выбрана с учетом экономических соображений (минимум металла и стоимости), целесообразного конструктивного решения жесткого стержня, возможности осуществления предварительного напряжения существующими приспособлениями и допустимой величины удлинения стержня под нагрузкой. Влияние этих парам на величину предварительного напряжения рассмотрено ниже. Очевидно, отношение величины предварительного напряжения к расчетному сопротивлению жесткого стержня σ01/R1 может колебаться в пределах от 0 до 1.
Проанализируем зависимости величин F1 и F2 в функции от основных парам: σ01/R1, k, m и n.
Из формул (6) и (7) получены зависимости отношении площадей жесткого стержня и затяжки к суммарной нагрузке (8) и (9) и построены графики этих зависимостей в функции от указанных выше парам при R1 = 2,1 т/см2 (рис. 5):
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Из графиков рис. 5 видно, что площадь стержня F1 убывает с увеличением величины предварительного напряжения σ01 и уменьшением величины отношения расчетного сопротивления затяжки к расчетному сопротивлению жесткого стержня k. Площадь же затяжки F2, наоборот, при указанном изменении парам σ01 и k увеличивается.
Учитывая, что в растянутых элементах применение высокопрочной стали выгоднее, чем обычной, очевидно, в рассматриваемых элементах целесообразно повышать отношение σ01/P1.
Таким образом, повышая величину предварительного напряжения, можно большую часть усилия передать на затяжку и облегчить сечение жесткого стержня.
В стальных конструкциях величина m колеблется в пределах от 0,8 до 1 и практически мало влияет на значение площадей F1 и F2.
Ho если проектировать предварительно напряженный элемент с жестким стержнем из алюминиевого сплава и затяжкой из пучка высокопрочной стальной проволоки или стального каната, то значение модуля упругости затяжки будет примерно в 3 раза больше, чем стержня (m=3). Из графиков рис. 5 видно, что в этом случае можно получить значительно большую экономию материала жесткого стержня, чем в случае стержня из стали, при сравнительно небольшом увеличении площади затяжки. Интересно отметить, что если часть нагрузки приложена до предварительного напряжения или в его процессе (n=0,5), то площадь жесткого стержня становится относительно меньшей, а площадь затяжки большей. Следовательно, такой способ приложения нагрузки рационален.
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении
Для полного представления о рациональных параметрах рассматриваемого элемента получим формулу суммарной площади жесткого стержня и затяжки (10)
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Из формулы (10) получим удобную для анализа формулу отношения суммарной площади к суммарной нагрузке
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Из графика рис. 6, построенного по формуле (11) при R1=2,1 т/см2, видно, что суммарная площадь элемента существенно уменьшается с повышением величины предварительного напряжения.
При m=3, т. е. для жесткого стержня из алюминиевого сплава с условным расчетным сопротивлением R1=2,1 т/см2, суммарная площадь элемента получается значительно меньше. Затяжка принимает на себя большую долю усилия, чем при стержне из стали. И, наоборот, если стальной жесткий стержень предварительно напрягать затяжкой из стального каната с меньшим, чем у стали, модулем упругости (m=0,8), то суммарная площадь увеличивается. Увеличивается суммарная площадь также с увеличением значения k. Особенно это проявляется в конструкции из алюминиевого сплава (m=3). Увеличение суммарной площади происходит в этом случае за счет увеличения площади жесткого стержня при незначительном уменьшении площади затяжки. При параметре n=0,5 (часть нагрузки приложена до предварительного напряжения) суммарная площадь несколько уменьшается вследствие уменьшения площади жесткого стержня (см. рис. 6). С увеличением n при прочих равных условиях F1 уменьшается, a F2 увеличивается. Очевидно, прикладывать часть нагрузки до натяжения затяжки целесообразно.
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Анализируя формулы (10) и (11), можно отметить, что при m=1 суммарная площадь элемента не зависит от расчетного сопротивления затяжки (R2). Параметр k влияет в этом случае лишь на распределение площади сечения элемента между жестким стержнем и затяжкой.
Формула (11) при m=1 принимает весьма простой вид:
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Однако отсутствие зависимости суммарной площади от параметра k только кажущееся, так как величина предварительного напряжения σ01 не может быть принята любой, а зависит от величии k, m и n.
Эту зависимость можно установить из формулы (6). Если учесть, что величина F1 всегда должна иметь положительное значение, то, следовательно, числитель в формуле (6) должен отвечать следующему неравенству:
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

По формуле (11.13) построен график зависимости k от σ01/R1, n и m (рис. 7). Значение k для принятого σ01/R1 должно быть обязательно выше прямой, построенной для соответствующих значений m и n, которые, очевидно, всегда могут быть заданы.
Так, например, при k = 3, m=1 и n=1 значение σ01/R1 должно быть меньше 0,5, а при k = 5, m=1 и n=1 значение может быть любое от 0 до 1.
В конструкциях из алюминиевых сплавов при тех же самых σ01/R1 — и n значения k должны быть значительно больше. Так, например, для σ01/R1=0,5 и n=1 k должно быть не менее 9, в 3 раза больше, чем при жестком стержне из стали. При k=5, m=3 и n=0 σ01/R1 не может быть больше 0,667, что отражено также на графиках рис. 5 и 6.
Практически максимальное значение σ01/R1 определяется такой величиной площади F1, при которой жесткий стержень может получить конструктивное оформление. Увеличение значения n может также потребовать увеличения параметра k, т. е. при приложении части нагрузки до предварительного напряжения расчетное сопротивление затяжки должно быть выше.
Экономическая рациональность предварительно напряженного элемента определяется отношением площади сечения и стоимости его к площади сечения F0 и стоимости C0 элемента, выполненного из обычного материала (например, стали 3) без предварительного напряжения.
Отношение площадей определяется формулой
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

где
F0 = Pq+Pp/R1 = Pq (1+n)/R1.

Для стальных конструкций формула (14) выражает также отношение расхода металла по весу.
Для элементов с жестким стержнем из алюминиевого сплава надо учитывать, что вес единицы объема затяжки примерно в 3 раза больше веса единицы объема алюминиевого сплава. Для этого случая формула отношения расхода металла по весу принимает вид
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Следует отметить, что при m=1 для стальных стержней и m=3 для стержней из алюминиевого сплава формулы (14) и (14') принимают один общий вид, не зависящий от параметра k,
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Отношение стоимостей для стальной конструкции принимаем, считая стоимость 1 т затяжки в 3 раза больше стоимости 1 г обычной стали (15), что, по-видимому, должно учитывать и повышенную стоимость изготовления предварительно напряженного стержня
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Для жесткого стержня из алюминиевого сплава и стальной затяжки можно приближенно считать стоимость 1 т затяжки в 5 раз меньше стоимости 1 г алюминиевого сплава, но объемный вес затяжки примерно в 3 раза больше.
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

По формулам (14) и (15) построены графики рис. 8 и 9, из которых видно, что повышать величину предварительного напряжения выгодно как с точки зрения экономии стали, так и снижения стоимости конструкции. Максимальная экономия стали при m=1 и n=0 может быть получена в 50%.
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

В элементах с жесткими стержнями из стали с увеличением k и т экономия по расходу металла и стоимости возрастает. В элементах с жесткими стержнями из легких сплавов с увеличением k и m экономия металла также увеличивается, но экономия по стоимости увеличивается только с увеличением m, а с увеличением к убывает. Если часть нагрузки приложена к элементу до предварительного напряжения (n>0), то также уменьшаются расход металла и стоимость.
Из уравнений (1)—(4) можно получить значение величины усилия предварительного напряжения Х и приращения усилия в затяжке Δх от нагрузки Pq и Pp
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Принимая Pp =0 и m=1, получаем удобные для анализа формулы значения X и Δх, отнесенные к величине нагрузки Pq,
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

По формулам (16) и (17) построены графики рис. 10, 11. Из графика на рис. 10 видно, что усилие предварительного напряжения непрерывно повышается с увеличением отношения σ01/R1 только при больших значениях k.
При k<5 величина X с повышением отношения σ01/R1 сначала увеличивается, а затем уменьшается. При k<2 и больших отношениях — величина X вообще может быть равна нулю, т. е.
предварительное напряжение при таких параметрах невозможно.
Для стержней из алюминиевого сплава требуется меньшая величина усилия предварительного напряжения, чем для стержней из стали. Следовательно, осуществлять предварительное напряжение в алюминиевых конструкциях легче, а эффект получается больше. Величина приращения усилия в затяжке Δx (при Pp =0) увеличивается в функции — по линейному закону, и она
тем больше, чем меньше величина k (рис. 11). В конструкциях из алюминиевого сплава величина самонапряжения больше, чем в конструкциях из стали.
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Если часть нагрузки приложена к стержню до предварительного напряжения (n=0,5), то требуется большая величина усилия предварительного напряжения, и величина усилия самонапряжения также получается больше. Объясняется это тем, что площадь затяжки в данном случае увеличивается.
Представляет интерес проанализировать отношение Δ/X при m=1 и n=0
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Из графика рис. 11.12 видно, что в стальных элементах при больших значениях k (k=10) приращение усилия в затяжке от нагрузки незначительно по сравнению с усилием предварительного напряжения. Причем чем больше предварительное напряжение в жестком стержне, тем больше относительная и абсолютная величина приращения усилия в затяжке (рис. 11). При k=3 отношение — начиная с σ01/R1=0,5 и выше становится больше единицы. При k=2 отношение Δx/X при всех значениях σ01/R1, отличных от нуля, больше 1. С увеличением значения m усилие предварительного напряжения X уменьшается, a Δx увеличивается. Следовательно, осуществлять предварительное напряжение в конструкциях из алюминиевых сплавов легче, и оно дает больший эффект.
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Для получения полной картины работы предварительно напряженного элемента получим и проанализируем формулу отношения удлинения предварительно напряженного элемента Δl к удлинению элемента без предварительного напряжения Δl0:
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении
В формуле (21) элемент без предварительного напряжения принят из материала затяжки (Δl0=R2l/E2), а в формуле (22) — из материала жесткого стержня (Δl0=R1l/E1). Из графиков (рис. 13), построенных по формулам (21) и (22), видно, что удлинение предварительно напряженного элемента растет с ростом величины предварительного напряжения.
Если сравнить удлинение предварительно напряженного элемента с удлинением элемента, выполненного полностью из материала затяжки [формула (21)], то можно отметить значительное снижение деформативности. Так, при k = 5 удлинение предварительно напряженного стального элемента не превосходит 40%, а при k=10 не превосходит 20% удлинения элемента без предварительного напряжения.
Если для сравнения принять элемент без предварительного напряжения, выполненный из материала жесткого стержня [(формула (22)], то можно отметить, что при использовании любой высокопрочной стали для затяжки удлинение предварительно напряженного стержня не может превышать больше чем вдвое удлинения элемента без предварительного напряжения. Удлинение такого предварительно напряженного стержня не зависит от расчетного сопротивления и модуля упругости затяжки.
Расчет и анализ работы предварительно напряженного элемента при центральном растяжении

Удлинение предварительно напряженного элемента из алюминиевого сплава при k≥5 всегда будет меньше удлинения элемента из алюминиевого сплава без предварительного напряжения.
По графику на рис. 13 можно определить допустимую величину предварительного напряжения, если задана величина допустимого удлинения элемента.
Из проведенного анализа можно сделать некоторые общие выводы.
В предварительно напряженном элементе с ростом величины предварительного напряжения и отношения m уменьшаются расход стали и стоимость изготовления.
Эффективность применения предварительного напряжения в конструкциях из алюминиевого сплава выше, чем в стальных, как по расходу стали, так и, особенно, по стоимости (при равных значениях n). Если величина усилия предварительного напряжения определяется конструкцией затяжки или мощностью натяжного приспособления, то ее можно определить по графику рис. 10. Если величину предварительного напряжения лимитирует допускаемая величина деформации элемента, то ее можно определить по графику рис. 13, задавшись деформацией и другими параметрами.
Очень важным выводом является снижение эффективности предварительного напряжения с увеличением параметра k в элементах со стержнем из алюминиевого сплава. В этом случае площадь затяжки немного уменьшается, а площадь стержня увеличивается более существенно, и в целом суммарная площадь и стоимость элемента увеличиваются.
Если стержень соединен с затяжкой по всей длине, причем соединение допускает независимую деформацию стержня и затяжки в продольном направлении и только совместную в поперечном, то предельное отношение σ01/R1 может быть равным единице. Если стержень соединен с затяжкой только в отдельных местах, через диафрагмы, то предельная величина предварительного напряжения в стержне ограничивается устойчивостью стержня на расстояниях между диафрагмами и должна быть меньше единицы. Практически она может быть очень близкой к единице.