ГлавнаяВ этом случае внешняя нагрузка совпадает с напряжениями на границе массива по всей площади. В случае же жесткого приложения граничной нагрузки, например, жестким штампом, на контактной поверхности возникает реактивное напряжение, которое неравномерно распределяется по площади контакта. Такое реактивное давление отразится также на характере распределения напряжений внутри массива. Оно существенно отличается от характера распределения напряжений от действия равномерно-распределенной нагрузки. Исследования показывают, что это отличие распространяется на глубину до 1,5 ширины загруженной площади (принцип Сен-Венана). Поскольку активная зона НДС в основаниях сооружений распространяется на глубину 6b, где b - ширина площади нагружения, то ошибка в определении НДС в массиве грунта под действием жесткого фундамента заменой его равномерно - распределенной нагрузкой незначительна и для практических целей вполне допустима. Следует, однако, учитывать, что на контактные напряжения существенное влияние оказывает трение на поверхности контакта.
Абсолютно жесткий круглый штамп
Для решения такой задачи основным условием является равенство перемещений точек штампа на контактной поверхности, т.е. при z = 0 w(x, у) = const, причем
где ξ, η - координаты центра элементарной нагруженной площади; dF = dξ*dη, х, у - координаты рассматриваемой точки.
Уравнение (9.2) получается из решения задачи о сосредоточенной силе, приложенной на упругое полупространство, т.е.
Решение интегрального уравнения (9.2) для круглого штампа получено Штаерманом И.Я. в 1949 году и имеет вид:
где а - радиус подошвы штампа до любой точки контактной поверхности r ≤ а.
Согласно решению (9.4), в центре штампа r = 0, р = 0,5pm, при r = a/2, р = 0,58pm, и при r = а, р = ∞.
В действительности на крайних точках круглого штампа бесконечные напряжения не возникают, т.к. напряжения в этих точках ограничены пределом прочности грунта. Поэтому произойдет трансформация эпюры контактных напряжений, и она примет седлообразный вид. Для снижения контактных напряжений на контуре И.Я. Штаерман предложил закруглить края штампа.
Однако, для грунтовой среды это закругление дает незначительный эффект, т.к. в этих местах напряжение ограничено пределом прочности (см. рис. 9.1, б, кривая 2).
Для снижения крайних напряжений возможны и другие конструктивные решения штампа.
Если поверхность штампа сделать выпуклой С большим радиусом кривизны, то центральная часть эпюры контактных напряжений возрастает, а в периферийной части уменьшается. В пользу такого предположения говорит распределение контактных напряжений под жестким сферическим штампом, т.е.
где р0 - контактное напряжение в центре шара, и определяется из выражения P = 2/3п*а2*р0, а - радиус отпечатка шарового штампа;
r - расстояние от центра штампа до рассматриваемой точки.
Очевидно, что р(r = а) = 0, а при r → 0, р → р0 (рис. 9.3). Перемещение поверхности будет определяться выражением:
В случае необходимости можно сконструировать абсолютно жесткий штамп с такой контактной поверхностью, при которой контактные напряжения были бы равномерными. Для этого достаточно воспользоваться уравнением лунки оседания поверхности грунтового полупространства при действии равномерно распределенной нормальной нагрузки (абсолютно гладкий штамп, без трения).
Так, например, для круглого штампа имеется решение вида:
где r - расстояние от центра круга до рассматриваемой точки. При r = 0 получим осадку в центре круглой площади
Под внецентренно нагруженным штампом по решению К.Е. Егорова возникнут контактные напряжения в виде:
Причем тангенс угла наклона равен:
где P - нагрузка на штамп (Кн), а - радиус штампа, х, у - координаты рассматриваемой точки, е - эксцентриситет (см).
Контактные напряжения под прямоугольным жестким штампом
Распределение контактных напряжений под прямоугольным штампом можно определить, решая уравнение (9.2), что связано со значительными трудностями.
Приближенный метод решения такой задачи предложен Н.А Цытовичем и Д. Кремоновичем, которыми составлены графики. Для этого нагруженную площадь разбивают на ряд элементов и интеграл (9.2) заменяется суммой
где n - число элементов площади, С = E/1-v2, pi - неизвестное среднее давление площади Fi, причем
ρi(х, у) - расстояние центра тяжести элемента от точки, для которой составляется уравнение (9.11). При такой постановке требуется решение большого количества уравнений. Ниже предлагается другой способ приближенного решения этой задачи, в основу которого положена формула для определения осадки в любой точке (х, у) поверхности полупространства от действия равномерно распределенной нагрузки по площади прямоугольника, т.е.
Далее разбиваем прямоугольную площадь на подобные ей вписанные прямоугольники, т.е. с тем же соотношением сторон l/b (рис. 9.4).
Осадки определяем в точках, расположенных на диагонали (xi, yi), причем xi/yi = l/b или xi = xi*α, где α = l/b.
Тогда в точке xi, yi осадка от прямоугольников, для которых точки, расположенные на диагонали, являются угловыми, будет определяться суммой:
Фиксируя xi и yi и меняя bn и ln от одного до m, получим осадку в точке xi, yi от всех m прямоугольников. Выбирая количество точек xi, yi, получим систему линейных уравнений относительно рm, приравнивая осадки во всех рассмотренных точках, добавляя к этому уравнение равновесия.
Определяя эпюру контактных напряжений рn, можем рассчитать не только осадку жесткой прямоугольной плиты, но и осадку точек, находящихся за пределом площади прямоугольной плиты, т.е. лунку прогиба свободной поверхности за пределами штампа. Это обстоятельство имеет важное значение не только для оценки влияния жесткого прямоугольного штампа на ближайшие фундаменты, но также и для построения зависимости осадки за пределами штампа и нагрузкой на штамп. Последнее необходимо при обработке штамповых испытаний и определения модуля деформации грунтов основания штампа. Такие эксперименты для определения модуля деформации скальных оснований проводились сотрудниками кафедры МГрОиФ МГСУ(МИСИ) в 70-х годах при участии автора настоящей книги.
В заключение отметим, что если запроектировать абсолютно жесткий прямоугольный штамп, контактная поверхность которого описывается уравнением (9.13), то в предположении отсутствия касательных напряжений получим равномерно-распределенные контактные напряжения. Отметим также, что при рассмотрении штампов конечной жесткости контактные напряжения легко можно регулировать, изменяя жесткость (толщину) штампа по радиусу или в плане.
Контактные напряжения под плоским жестким штампом (плоская деформация)
При взаимодействии конструкций с грунтовым основанием, у которых длина значительно больше ширины, т.е. l≫b, возникает условие плоской деформации, к таким относятся ленточные фундаменты, подпорные стенки, балки и др.
Впервые эта задача в предположении отсутствия сил трения по подошве решена М. Садовским в 1920 году.
Уравнение имеет вид:
где pm - среднее давление на штамп, b - полуширина полосы.
При у = 0 р0 = 0,637pm, т.е. будет несколько больше, чем в случае круглой подошвы штампа, для которой p0 = 0,5pm.
Сопоставление результатов определения напряжений под жестким и гибким ленточным фундаментом показало, что разница в напряжениях внутри массива существенна только в зоне контакта и затухает с глубиной.