Процесс дробления отличается чрезвычайной сложностью и зависит в значительной мере от целого ряда случайных обстоятельств. Проблема изучения процесса дробления разделяется на две различные части — физику процесса дробления и механику (теорию) дробильных машин. Для разрешения этой проблемы предложен ряд гипотез, из которых только две получили признание как научно обоснованные и могут рассматриваться как законы дробления. Первая гипотеза — поверхностная (плоская), предложенная Риттингером, а вторая — объемная, которой придерживались В.Л. Кирпичев, обосновавший ряд теоретических положений, и Ф. Кик, экспериментально подтвердивший эту гипотезу.
По гипотезе Риттингера «Работа дробления прямо пропорциональна поверхности кусков продукта, полученной в процессе этой операции». Для доказательства своей гипотезы Риттингер приводит такой пример (фиг. 15, а). Пусть для разделения по одной плоскости куба со стороной 1 см требуется некоторая работа А кгсм; при раздроблении основного куба на кубики со стороной 1/2 см потребуется разделение его по трем плоскостям 1—1—1, 2—2—2 и 3—3—3. Затраченная при этом работа будет 3 А кг/см и получится 23=8 кубиков со стороной V2 CM.
Для раздробления того же куба со стороной 1 см на кубик со стороной 1/3 см потребуется образование шести плоскостей раздела. Работа в этом случае будет 6А кгсм, и получится 3в3=27 кубиков со стороной 1/3 см. На основании этих расчетов приходим к выводу, что для разделения тела с поперечником 1 см на части с размером стороны l/n, т. е. при степени измельчения i = n и разделении на n2 частей, потребуется образование 3 (n—1) новых поверхностей, и работа будет равна
где А — работа в кгсм, необходимая для разделения того же основного кубика по одной плоскости.
При степени измельчения i = m потребуется работа
Отношение
(так как при больших степенях измельчения n и m можно пренебречь единицей в числителе и знаменателе).
Таким образом, согласно поверхностной гипотезе работа дробления пропорциональна степени измельчения.
Гипотезой Риттингера определяется лишь отношение работ дробления при разных степенях измельчения, но не дается абсолютной величины работы, затрачиваемой для дробления данного тела при заданной степени измельчения и заданных физико-механических свойствах дробимого материала. Кроме того, при выводе формулы (5) в обоих рассматриваемых случаях дробления при разных степенях измельчения n и m полагают, что поступающий в дробление материал имеет одинаковую крупность, т. е.:
Если же это условие не соблюдено, т. е. Dm≠Dn, то можно пользоваться более общей формулой, предложенной канд. техн. наук Т.И. Муха,
Исходя из объемной гипотезы, В.Л. Кирпичев сформулировал следующие положения: «Работа внутренних сил (сил упругости) пропорциональна объемам подобных тел» (при прочих равных условиях).
«Можно сказать, что для сопротивления раздроблению мы знаем единственный общий закон; он заключается в том, что тела геометрически подобные имеют сопротивления, пропорциональные квадратам их сходственных размеров». Отсюда следует, что наибольшие удары, которые наши тела могут выдержать до предела упругости, пропорциональны их объемам.
Объемная гипотеза основана на известной формуле теории упругости, дающей абсолютную величину работы деформации,
где А — работа деформации, т. е. работа внутренних сил упругости, равная, в отсутствии потерь, работе внешних сил, вызвавших упругую деформацию тела, в кгсм;
σв — предел прочности в кг/см2;
V — объем деформируемого тела в см3;
E — модуль упругости при сжатии в кг/см2.
Формулу (6) можно представить в виде
где k = σ2/2Е — коэффициент пропорциональности.
Выражение (7) показывает, что работа разрушения (или, правильнее, предельно-упругого деформирования) пропорциональна объему разрушаемого тела. На это обратил внимание В.Л. Кирпичев, указавший, что уравнение (6) следует рассматривать как основу моделирования процессов дробления. Несколько позже это экспериментально доказал Ф. Кик.
Математически объемную гипотезу можно выразить так:
Работа силы
где s см — перемещение по направлению силы.
Отсюда следует, что абсолютная деформация по закону Гука пропорциональна линейным размерам тела l.
Очевидно, при S1:S2 = l1:l2 имеем
откуда
Здесь усилия пропорциональны квадратам сходственных сторон, т. е. площадям, а работы пропорциональны кубам сходственных сторон, или объемам (или весам) сравниваемых однородных и подобных тел. По гипотезе же Риттингера работы пропорциональны поверхностям, т. е. квадратам сходственных сторон. Существование двух подтвержденных экспериментально количественно различных зависимостей, объясняющих один и тот же физический процесс, возможно только в том случае, когда описываются качественно различные стороны этого процесса.
Каждая из приведенных выше гипотез учитывает лишь часть процесса дробления и охватывает определенную область, что сделало возможным одновременное их существование.
Многочисленные исследования показывают, что чем больше степень дробления, тем результаты ближе к плоской гипотезе, и наоборот, при дроблении крупных кусков породы и сравнительно малой степени- дробления затрата работы может быть достаточно точно определена по объемной гипотезе.
На сосуществование двух различных гипотез, объясняющих один и тот же процесс, обратил внимание акад. П.А. Ребиндер, который предложил обобщенную формулировку закона дробления.
При выводе обобщенного закона дробления исходят из следующего.
Для разрушения необходимо, чтобы напряжение σ в разрушаемом теле превысило предел прочности σв. При этом в теле накапливается некоторая добавочная плотность энергии, которую можно назвать энергией перенапряжения. Величина энергии перенапряжения определяется выражением
Затрата энергии на весь процесс разрушения в соответствии с законом сохранения энергии должна равняться сумме затрат на его отдельные этапы.
Поэтому можно написать
где AS представляет собой энергозатраты, связанные с обнажением новой поверхности 5 (фиг. 15, б).
Выражение (8) представляет собой формулировку закона дробления, предложенную П.А. Ребиндером. Из этого выражения очевидно, что в случае измельчения материала с крупными кусками, обладающими большим объемом V и относительно малой поверхностью, величина вновь обнаженной поверхности ΔS невелика, поэтому вторым слагаемым можно пренебречь, и выражение (8) переходит в обычную формулу закона Кирпичева — Кика. Это положение соответствует условиям крупного дробления. Как показали исследования канд. техн. наук В.А. Баумана и других исследователей, при крупном и среднем дроблении закон Кирпичева — Кика позволяет определить энергозатраты с достаточной степенью точности.
За последние годы появилась новая (третья) теория дробления (измельчения). Согласно этой теории, работа прямо пропорциональна длине вновь образующегося разлома, а затрата энергии на тонну материала обратно пропорциональна квадратному корню из диаметра частицы продукта, причем доказывается применимость теории для различных степеней дробления и тонкого измельчения. Эксперименты, подтверждающие эту теорию, провел Фред. С. Бонд. Единицей измерения в этой теории является показатель работы Wi, который представляет собой затрату энергии в киловатт-часах, необходимую для дробления 1 т материала от теоретически бесконечной крупности до размера 80—100 мк. Для удобства вычислений работа учитывается в киловатт-часах по счетчику электродвигателя дробилки.
Соотношение между показателем работы Wi и суммарным расходом работы Wt выражается уравнением
где d — диаметр частицы продукта.